Estudio y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) El estudio del sistema en función del parámetro $a$. (5 puntos)** Escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$, donde la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = a + a + a - (a^3 + 1 + 1) = 3a - a^3 - 2$$ Para estudiar el sistema, buscamos los valores de $a$ que anulan el determinante: $$-a^3 + 3a - 2 = 0$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini. Para $a=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 1 & & -1 & -1 & 2 \\ \hline & -1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$$ La ecuación factorizada es $-(a-1)(a^2+a-2) = 0$. Resolvemos $a^2+a-2=0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a=1, \, a=-2$$ Los valores críticos son **$a = 1$** y **$a = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para cada caso: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** Como $|A| \neq 0$, el $\text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, el $\text{rango}(A^*) = 3$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ El $\text{rango}(A) = 1$ porque todas las filas de $A$ son iguales. Sin embargo, en $A^*$ vemos que las dos primeras ecuaciones son iguales pero contradicen a la tercera ($1 \neq -2$). Tomando el menor entre la fila 1 y 3 de la columna 1 y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = 1 \neq \text{rango}(A^*) = 2$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ observando que la columna 1 es igual a la columna de términos independientes ($C_1 = B$). Por tanto, añadir la columna $B$ no aumenta el rango: $$\text{rango}(A^*) = \text{rango}(A) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (estudio):** $$\boxed{\begin{cases} a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}: \text{SCD} \\ a = 1: \text{SI} \\ a = -2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Las soluciones del sistema cuando $a = -2$. (3 puntos)** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a = -2$ el sistema es **SCI** con $\text{rango}(A) = 2$. Podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ejemplo) y usar las dos primeras como base, tratando $z$ como un parámetro ($z = \lambda$): $$\begin{cases} x + y = 1 + 2\lambda \\ x - 2y = 1 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $x$: $$(x + y) - (x - 2y) = (1 + 2\lambda) - (1 - \lambda)$$ $$3y = 3\lambda \implies y = \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + \lambda = 1 + 2\lambda \implies x = 1 + \lambda$$ Las soluciones dependen del parámetro real $\lambda$. 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros libres es igual a $n - \text{rango}$, en este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 + \lambda, \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) La solución del sistema cuando $a = 0$. (2 puntos)** Para $a = 0$, el sistema es **SCD**. Sustituimos $a=0$ en las ecuaciones originales: $$\begin{cases} x + y = 1 \quad (1) \\ x + z = 1 \quad (2) \\ y + z = -2 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (1) despejamos $y$: $y = 1 - x$. De la ecuación (2) despejamos $z$: $z = 1 - x$. Sustituimos ambos en la ecuación (3): $$(1 - x) + (1 - x) = -2$$ $$2 - 2x = -2 \implies -2x = -4 \implies x = 2$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = 1 - 2 = -1$$ $$z = 1 - 2 = -1$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado la regla de Cramer, pero en sistemas con muchos ceros, la sustitución suele ser más rápida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2, \, y = -1, \, z = -1}$$