Cálculo de varianzas en distribuciones normales

El enunciado nos indica que las variables aleatorias $X$ e $Y$ siguen distribuciones normales con la misma media $\mu = 25$, pero distintas desviaciones típicas $\sigma_X$ y $\sigma_Y$. Las distribuciones se definen como: - $X \sim N(25, \sigma_X)$ - $Y \sim N(25, \sigma_Y)$ Nos piden calcular las **varianzas**, que se definen como el cuadrado de la desviación típica: **$\sigma_X^2$** y **$\sigma_Y^2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que en una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer parámetro es la media y el segundo es la desviación típica. La varianza es siempre $\sigma^2$.

Para trabajar con la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, debemos **tipificar** la variable $X$ usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Partimos del dato $P(X \ge 27) = 0,1587$: $$P\left(\frac{X - 25}{\sigma_X} \ge \frac{27 - 25}{\sigma_X}\right) = 0,1587$$ $$P\left(Z \ge \frac{2}{\sigma_X}\right) = 0,1587$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer probabilidades del tipo $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$1 - P\left(Z \le \frac{2}{\sigma_X}\right) = 0,1587$$ $$P\left(Z \le \frac{2}{\sigma_X}\right) = 1 - 0,1587 = 0,8413$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0,8413$ corresponde a un valor de $z = 1$. Entonces: $$\frac{2}{\sigma_X} = 1 \implies \sigma_X = 2$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad es mayor que $0,5$, el valor de $z$ será positivo. Si es menor, tendremos que usar las simetrías de la campana de Gauss.

Una vez obtenida la desviación típica $\sigma_X$, calculamos la varianza elevando el resultado al cuadrado: $$\text{Varianza de } X = \sigma_X^2 = 2^2 = 4$$ ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{\sigma_X^2 = 4}$$

Repetimos el proceso para la variable $Y$, partiendo de $P(Y \ge 30) = 0,1587$: Tipificamos la variable $Y$: $$P\left(\frac{Y - 25}{\sigma_Y} \ge \frac{30 - 25}{\sigma_Y}\right) = 0,1587$$ $$P\left(Z \ge \frac{5}{\sigma_Y}\right) = 0,1587$$ Nuevamente, pasamos al complementario: $$1 - P\left(Z \le \frac{5}{\sigma_Y}\right) = 0,1587$$ $$P\left(Z \le \frac{5}{\sigma_Y}\right) = 0,8413$$ Como ya hemos visto en el paso anterior, el valor de $z$ que deja a su izquierda una probabilidad de $0,8413$ es $1$: $$\frac{5}{\sigma_Y} = 1 \implies \sigma_Y = 5$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica. Es fundamental no confundir estos parámetros.

Calculamos la varianza de la población $Y$ elevando su desviación típica al cuadrado: $$\text{Varianza de } Y = \sigma_Y^2 = 5^2 = 25$$ ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{\sigma_Y^2 = 25}$$