Producto vectorial y área del paralelogramo

**a) Hallar un vector $\vec{w}$ de módulo uno, que sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$.** Para encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados, utilizamos el **producto vectorial**. Un vector $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ será perpendicular simultáneamente a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$. Calculamos el producto vectorial mediante el desarrollo del determinante de las componentes: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}$$ Aplicamos la **regla de Sarrus** para resolver el determinante: $$\vec{n} = [(2 \cdot 1)\vec{i} + (3 \cdot 0)\vec{j} + (1 \cdot 1)\vec{k}] - [(0 \cdot 2)\vec{k} + (1 \cdot 3)\vec{i} + (1 \cdot 1)\vec{j}]$$ $$\vec{n} = (2\vec{i} + 0\vec{j} + \vec{k}) - (0\vec{k} + 3\vec{i} + \vec{j})$$ $$\vec{n} = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular al plano que contiene a ambos vectores.

El enunciado nos pide que el vector $\vec{w}$ tenga **módulo uno** (vector unitario). Para ello, dividimos el vector $\vec{n}$ obtenido anteriormente por su propio módulo. Primero, calculamos el módulo de $\vec{n} = (-1, -1, 1)$: $$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ Ahora, normalizamos el vector: $$\vec{w} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, -1, 1) = \pm \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$$ Existen dos vectores que cumplen la condición (en sentidos opuestos). Damos uno de ellos como solución: ✅ **Resultado (vector unitario):** $$\boxed{\vec{w} = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}$$

**b) Calcular el área del paralelogramo determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** Geométricamente, el **módulo del producto vectorial** de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que estos determinan. $$Área = |\vec{u} \times \vec{v}|$$ En el apartado anterior, ya hemos calculado el vector producto vectorial $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (-1, -1, 1)$ y su módulo $|\vec{n}| = \sqrt{3}$. Por tanto: $$Área = \sqrt{3} \text{ unidades}^2 \approx 1,732 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Si el ejercicio pidiera el área del **triángulo** determinado por los vectores, el resultado sería la mitad del módulo del producto vectorial: $\frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|$. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Área = \sqrt{3} \text{ u}^2}$$