Posición relativa de tres planos con parámetro

Para determinar la posición relativa de los tres planos, estudiamos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a-1 & 1 & -1 \\ a+1 & 2a+1 & 1 \\ a & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a-1 & 1 & -1 & a \\ a+1 & 2a+1 & 1 & -a \\ a & a & 1 & -a \end{array}\right)$$ El estudio de la posición relativa dependerá de los rangos de estas matrices según el valor de $a$. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Capelli, si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, los planos se cortan en un punto; si los rangos son menores, habrá que analizar si hay planos paralelos o coincidentes.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a-1 & 1 & -1 \\ a+1 & 2a+1 & 1 \\ a & a & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(a-1)(2a+1)(1) + (1)(1)(a) + (-1)(a+1)(a)] - [(-1)(2a+1)(a) + (1)(a+1)(1) + (a-1)(1)(a)]$$ $$|A| = [2a^2 + a - 2a - 1 + a - a^2 - a] - [-2a^2 - a + a + 1 + a^2 - a]$$ $$|A| = [a^2 - a - 1] - [-a^2 - a + 1]$$ $$|A| = a^2 - a - 1 + a^2 + a - 1 = 2a^2 - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies \mathbf{a = 1, \quad a = -1}$$ 💡 **Tip:** Los valores que anulan el determinante son los que cambian la estructura del rango de la matriz y, por tanto, la geometría de la intersección.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas también es 3, necesariamente $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado**, lo que significa que tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq \pm 1, \text{ los tres planos se cortan en un único punto.}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el determinante de un menor de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 - 1 + 2) - (3 + 0 - 2) = 1 - 1 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Analizamos los vectores normales: $\vec{n}_1(0,1,-1)$, $\vec{n}_2(2,3,1)$, $\vec{n}_3(1,1,1)$. Ninguno es proporcional a otro, por lo que no hay planos paralelos ni coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ los tres planos se cortan en una misma recta (forman un haz de planos).}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Observamos la matriz $A^*$. Las columnas 3 y 4 son iguales (multiplicadas por -1), o bien calculamos el menor: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 1 + 0) - (-1 + 2 + 0) = 1 - 1 = 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Analizamos los vectores normales: $\vec{n}_1(-2,1,-1)$, $\vec{n}_2(0,-1,1)$, $\vec{n}_3(-1,-1,1)$. No hay proporcionalidad entre ellos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ los tres planos se cortan en una misma recta.}}$$