Sistema de ecuaciones matriciales e invertibilidad

**a) Hallar $X$ e $Y$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 3X - 5Y = A, \\ -X + 2Y = B. \end{cases}$$** Para resolver este sistema, podemos utilizar el método de reducción (suma y resta) de la misma forma que con ecuaciones lineales de primer grado, tratando las matrices $X$ e $Y$ como incógnitas. Multiplicamos la segunda ecuación por $3$ para igualar los coeficientes de $X$: 1) $3X - 5Y = A$ 2) $3(-X + 2Y) = 3B \implies -3X + 6Y = 3B$ 💡 **Tip:** Al operar con ecuaciones matriciales, las propiedades de la suma y el producto por un escalar funcionan igual que en el álgebra convencional. Sin embargo, recuerda que el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$), aunque aquí no sea necesario aplicarlo.

Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la matriz $X$: $$(3X - 5Y) + (-3X + 6Y) = A + 3B$$ $$Y = A + 3B$$ Ahora, calculamos el valor de $Y$ realizando las operaciones con las matrices dadas: $$Y = \begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ -12 & 6 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} -13 + 15 & 5 - 6 \\ 10 - 12 & -5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la segunda ecuación original para despejar $X$ de forma sencilla: $$-X + 2Y = B \implies X = 2Y - B$$ Sustituimos el valor de $Y$ que acabamos de hallar: $$X = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 4 - 5 & -2 - (-2) \\ -4 - (-4) & 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcular si existen las matrices inversas de $X$ e $Y$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos primero el determinante de $X$: $$|X| = \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0$$ Como $|X| = 0$, la matriz **$X$ no es inversible**. Calculamos ahora el determinante de $Y$: $$|Y| = \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = (2) \cdot 1 - (-1) \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$$ Como $|Y| = 0$, la matriz **$Y$ tampoco es inversible**. 💡 **Tip:** Si una fila o columna es proporcional a otra (como en $Y$, donde la fila 2 es la fila 1 multiplicada por $-1$), el determinante siempre será cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen las inversas de } X \text{ ni de } Y \text{ porque } |X|=0 \text{ y } |Y|=0}$$