Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$.** Primero escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & a & a+1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & a & a+1 & a \\ a & 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a & -a \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Capelli, calculamos el determinante de $A$ desarrollándolo por la segunda columna: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & a & a+1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a \end{vmatrix} = -a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = -a(a^2 - 1) = -a(a-1)(a+1)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a(a-1)(a+1) = 0 \implies a = 0, \quad a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que si $Rg(A) = Rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es Compatible Determinado; si $Rg(A) = Rg(A^*) \lt n$ es Compatible Indeterminado; y si $Rg(A) \neq Rg(A^*)$ es Incompatible.

Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que **$ ext{Rg}(A) = 3 = ext{Rg}(A^*) = n$**, por lo que el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, teniendo una solución única. Resolvemos el sistema (por ejemplo, por sustitución desde las dos últimas ecuaciones): 1. De la segunda: $z = a - ax = a(1-x)$. 2. Sustituimos en la tercera: $x + a(a(1-x)) = -a \implies x + a^2 - a^2x = -a \implies x(1-a^2) = -a - a^2$. $$x = \frac{-a(1+a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{-a}{1-a} = \frac{a}{a-1}$$ 3. Hallamos $z$: $$z = a(1 - \frac{a}{a-1}) = a(\frac{a-1-a}{a-1}) = \frac{-a}{a-1}$$ 4. Hallamos $y$ de la primera ecuación: $ay = a - (a+1)z$: $$ay = a - (a+1)(\frac{-a}{a-1}) = a + \frac{a^2+a}{a-1} = \frac{a^2-a+a^2+a}{a-1} = \frac{2a^2}{a-1} \implies y = \frac{2a}{a-1}$$ ✅ **Resultado para $a \neq 0, \pm 1$:** $$\boxed{x = \frac{a}{a-1}, \quad y = \frac{2a}{a-1}, \quad z = \frac{-a}{a-1}}$$

Para $a = 0$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Como las dos primeras filas son iguales y hay un menor $2 \times 2$ no nulo $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$, tenemos que **$ ext{Rg}(A) = 2 = ext{Rg}(A^*) \lt 3$**. El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. El sistema reducido es: $$\begin{cases} z = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$ La variable $y$ no aparece en las ecuaciones, por lo que actúa como parámetro. ✅ **Resultado para $a = 0$:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, \lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para $a = 1$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ En $A$, las filas 2 y 3 son iguales, por lo que $\text{Rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ buscando un menor $3 \times 3$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 + 1 + 0 - (0 + 0 - 1) = 2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, **$ ext{Rg}(A^*) = 3$**. Dado que **$ ext{Rg}(A) \neq ext{Rg}(A^*)$**, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado para $a = 1$:** $$\boxed{\text{No tiene solución}}$$

Para $a = -1$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que $F_3 = -F_2$, por lo que el rango de $A$ y de $A^*$ es el mismo. Como el menor $\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, entonces **$ ext{Rg}(A) = 2 = ext{Rg}(A^*) \lt 3$**. El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Resolvemos usando $z = \lambda$: $$\begin{cases} -y = -1 \implies y = 1 \\ -x + z = -1 \implies x = 1 + z = 1 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado para $a = -1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 + \lambda, 1, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para $a = 2$.** Sustituimos $a = 2$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $|A| = -2(2^2 - 1) = -2(3) = -6$. Hallamos la matriz de adjuntos $( ext{Adj}(A))$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 6, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 0 \\ -4 & -3 & 2 \\ 2 & 6 & -4 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -3 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -3 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2/3 & -1/3 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \\ 0 & -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$. Siempre es bueno comprobar que $A \cdot A^{-1} = I$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}}$$