Potencias de una matriz y relaciones matriciales

**a) Hallar $\alpha$ y $\beta$ de tal forma que $A^2 = \alpha A + \beta I$, siendo $I$ la matriz identidad.** En primer lugar, calculamos el cuadrado de la matriz $A$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 2 + 0 + 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2\cdot 2 + 0 & 0 \\ m\cdot 2 + 0 + 2\cdot m & 0 & 2\cdot 2 \end{pmatrix}$$ Operando los elementos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4m & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se multiplica cada fila de la primera por cada columna de la segunda.

Planteamos la igualdad matricial $A^2 = \alpha A + \beta I$: $$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4m & 0 & 4 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4m & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\alpha + \beta & 0 & 0 \\ 0 & 2\alpha + \beta & 0 \\ m\alpha & 0 & 2\alpha + \beta \end{pmatrix}$$ Igualando los elementos correspondientes de las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $4 = 2\alpha + \beta$ 2) $4m = m\alpha$ De la ecuación (2), como el enunciado indica que $m \neq 0$, podemos simplificar dividiendo por $m$: $$\alpha = 4$$ Sustituimos el valor de $\alpha$ en la ecuación (1): $$4 = 2(4) + \beta \implies 4 = 8 + \beta \implies \beta = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 4, \quad \beta = -4}$$

**b) Calcular $A^5$ utilizando la anterior identidad.** Partimos de la identidad hallada en el apartado anterior: $A^2 = 4A - 4I$. Multiplicamos sucesivamente por $A$ para obtener las potencias superiores: **Para $A^3$:** $$A^3 = A \cdot A^2 = A(4A - 4I) = 4A^2 - 4A$$ Sustituimos de nuevo $A^2 = 4A - 4I$: $$A^3 = 4(4A - 4I) - 4A = 16A - 16I - 4A = 12A - 16I$$ **Para $A^4$:** $$A^4 = A \cdot A^3 = A(12A - 16I) = 12A^2 - 16A$$ Sustituimos $A^2$: $$A^4 = 12(4A - 4I) - 16A = 48A - 48I - 16A = 32A - 48I$$ **Para $A^5$:** $$A^5 = A \cdot A^4 = A(32A - 48I) = 32A^2 - 48A$$ Sustituimos $A^2$: $$A^5 = 32(4A - 4I) - 48A = 128A - 128I - 48A = 80A - 128I$$ 💡 **Tip:** Este método evita tener que multiplicar matrices de gran tamaño varias veces, utilizando solo la combinación lineal de $A$ e $I$.

Una vez obtenida la expresión $A^5 = 80A - 128I$, sustituimos las matrices $A$ e $I$ para obtener el resultado final: $$A^5 = 80 \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix} - 128 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^5 = \begin{pmatrix} 160 & 0 & 0 \\ 0 & 160 & 0 \\ 80m & 0 & 160 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 128 & 0 & 0 \\ 0 & 128 & 0 \\ 0 & 0 & 128 \end{pmatrix}$$ $$A^5 = \begin{pmatrix} 160 - 128 & 0 & 0 \\ 0 & 160 - 128 & 0 \\ 80m & 0 & 160 - 128 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^5 = \begin{pmatrix} 32 & 0 & 0 \\ 0 & 32 & 0 \\ 80m & 0 & 32 \end{pmatrix}}$$