Área bajo una función definida a trozos

**3.- (2 puntos) Calcular el área del recinto limitado por las rectas $x = -2$, $x = 2$, el eje $OX$ y la función $$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \lt 0, \\ x, & x \ge 0. \end{cases}$$** El área solicitada se encuentra entre los límites verticales $x = -2$ y $x = 2$. Dado que la función $f(x)$ cambia su definición en $x = 0$, debemos dividir el cálculo del área en dos recintos distintos según los intervalos de la función. Además, observamos que en el intervalo $[-2, 2]$ la función siempre es no negativa ($x^2 \ge 0$ y $x \ge 0$ para $x \in [0,2]$), por lo que el área total $A$ será la suma de las integrales definidas en cada tramo: $$A = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una función cambia de expresión analítica dentro del intervalo de integración, es obligatorio separar la integral en la suma de tantas integrales como tramos existan.

Calculamos la integral para el tramo $x \in [-2, 0]$, donde la función es $f(x) = x^2$: $$I_1 = \int_{-2}^{0} x^2 \, dx$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrar y luego la **Regla de Barrow**: $$I_1 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \left( \frac{0^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ Operamos con cuidado con los signos: $$I_1 = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Calculamos la integral para el tramo $x \in [0, 2]$, donde la función es $f(x) = x$: $$I_2 = \int_{0}^{2} x \, dx$$ Integramos y aplicamos de nuevo la Regla de Barrow: $$I_2 = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} \right)$$ $$I_2 = \frac{4}{2} - 0 = 2 \text{ u}^2$$

El área total del recinto es la suma de las áreas parciales obtenidas en los pasos anteriores: $$A = I_1 + I_2 = \frac{8}{3} + 2$$ Realizamos la suma de fracciones: $$A = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3} \text{ u}^2$$ Por tanto, el área del recinto limitado por la función y las rectas dadas es aproximadamente $4.67$ unidades de superficie. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{14}{3} \text{ u}^2}$$ Podemos visualizar el área sombreada en el siguiente gráfico interactivo: