Tangencia entre curvas y cálculo de parámetros

Para que dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ sean tangentes en un punto de abscisa $x = x_0$, deben cumplirse dos condiciones fundamentales: 1. **Condición de contacto:** Las funciones deben pasar por el mismo punto, es decir, sus ordenadas deben coincidir: $$f(x_0) = g(x_0)$$ 2. **Condición de tangencia (igualdad de pendientes):** Las derivadas en dicho punto deben ser iguales, ya que comparten la misma recta tangente: $$f'(x_0) = g'(x_0)$$ En este caso, el punto de abscisa es $x_0 = -1$. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos curvas son tangentes, no solo se cortan, sino que 'llevan la misma dirección' en ese punto, lo que matemáticamente se traduce en que sus derivadas coinciden.

Calculamos el valor de ambas funciones en $x = -1$ e igualamos los resultados: Para $f(x) = ax^2 + b$: $$f(-1) = a(-1)^2 + b = a + b$$ Para $g(x) = x^2 + x + a$: $$g(-1) = (-1)^2 + (-1) + a = 1 - 1 + a = a$$ Igualamos $f(-1) = g(-1)$: $$a + b = a$$ Restando $a$ en ambos lados de la ecuación, obtenemos directamente el valor de $b$: $$\boxed{b = 0}$$

Primero, hallamos las funciones derivadas de $f(x)$ y $g(x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + b) = 2ax$$ $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x + a) = 2x + 1$$ Ahora, evaluamos las derivadas en $x = -1$ e igualamos: $$f'(-1) = 2a(-1) = -2a$$ $$g'(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$$ Planteamos la ecuación: $$-2a = -1$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{a = 0.5}$$ Concluimos que los valores de los parámetros son **$a = 1/2$** y **$b = 0$**.

Una vez obtenidos $a = 1/2$ y $b = 0$, las funciones son: $$f(x) = \frac{1}{2}x^2, \quad g(x) = x^2 + x + \frac{1}{2}$$ Para calcular la recta tangente en $x = -1$, necesitamos el punto de tangencia $(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$: - **Punto de tangencia:** $x_0 = -1$. La ordenada es $y_0 = f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$. El punto es $P(-1, 0.5)$. - **Pendiente ($m$):** $m = f'(-1) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = -1$. Usamos la ecuación punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$ $$y - \frac{1}{2} = -1(x - (-1))$$ $$y - \frac{1}{2} = -(x + 1)$$ $$y = -x - 1 + \frac{1}{2}$$ $$y = -x - \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente a una función $h(x)$ en $x=a$ siempre sigue la estructura $y - h(a) = h'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = 0, \quad \text{Recta tangente: } y = -x - \frac{1}{2}}$$