Cálculo de límites e indeterminaciones

**a) Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} \right)^{\frac{1}{\operatorname{sen}x}}$$ Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para ver si presenta alguna indeterminación: - En la base: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} = \frac{1 - 0 \cdot 1}{1 + 0 \cdot 1} = 1$. - En el exponente: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\operatorname{sen}x} = \frac{1}{0} \to \infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $1^\infty$, utilizamos la propiedad: $\lim_{f(x)^{g(x)}} = e^{\lim g(x) \cdot (f(x) - 1)}$.

Aplicamos la fórmula mencionada, donde $f(x) = \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x}$ y $g(x) = \frac{1}{\operatorname{sen}x}$: $$L = e^A, \quad \text{donde } A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\operatorname{sen}x} \left( \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} - 1 \right)$$ Operamos dentro del paréntesis para simplificar la expresión: $$\frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x - (1 + \operatorname{sen}x \cos x)}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} = \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x - 1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} = \frac{-2 \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x}$$ Ahora sustituimos esto en el límite del exponente $A$: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\operatorname{sen}x} \cdot \left( \frac{-2 \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} \right)$$ $$A = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \operatorname{sen}x \cos x}{\operatorname{sen}x (1 + \operatorname{sen}x \cos x)}$$

Simplificamos la expresión eliminando el factor común $\operatorname{sen}x$ en el numerador y el denominador: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x}$$ Evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$A = \frac{-2 \cos(0)}{1 + \operatorname{sen}(0) \cos(0)} = \frac{-2 \cdot 1}{1 + 0 \cdot 1} = \frac{-2}{1} = -2$$ Finalmente, recuperamos el valor del límite original $L$: $$L = e^A = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \operatorname{sen}x \cos x}{1 + \operatorname{sen}x \cos x} \right)^{\frac{1}{\operatorname{sen}x}} = e^{-2}}$$

**b) Determinar el valor de la constante real $a$ para que se satisfaga la siguiente igualdad: $$\lim_{x \to 4} \frac{\operatorname{tg} ((\frac{\pi}{8} + 1) \sqrt{x} - 2)}{x^2 - 16 + ax} = \frac{1}{32}$$ Evaluamos el numerador cuando $x \to 4$: $$\lim_{x \to 4} \operatorname{tg} \left( \left( \frac{\pi}{8} + 1 \right) \sqrt{x} - 2 \right) = \operatorname{tg} \left( \left( \frac{\pi}{8} + 1 \right) \sqrt{4} - 2 \right)$$ $$\operatorname{tg} \left( \left( \frac{\pi}{8} + 1 \right) \cdot 2 - 2 \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + 2 - 2 \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$ Evaluamos el denominador cuando $x \to 4$: $$\lim_{x \to 4} (x^2 - 16 + ax) = 4^2 - 16 + a(4) = 16 - 16 + 4a = 4a$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una fracción es un número finito y el numerador tiende a un valor distinto de cero, el denominador no puede tender a cero (ya que el límite sería infinito).

Igualamos el resultado obtenido al valor dado en el enunciado: $$\frac{1}{4a} = \frac{1}{32}$$ Resolvemos la ecuación para hallar $a$: $$4a = 32 \implies a = \frac{32}{4} = 8$$ Para comprobar, si $a = 8$, el límite es: $$\lim_{x \to 4} \frac{\operatorname{tg} ((\frac{\pi}{8} + 1) \sqrt{x} - 2)}{x^2 - 16 + 8x} = \frac{1}{32}$$ Dado que el denominador evaluado es $4 \cdot 8 = 32$, el resultado es consistente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 8}$$