Probabilidad de asistencia y aprobado

**a) Calcular el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura.** Primero definimos los sucesos del problema: - $A$: El alumno asiste a clase. - $\bar{A}$: El alumno no asiste a clase. - $S$: El alumno aprueba (supera) todas las asignaturas. - $\bar{S}$: El alumno no aprueba (suspende) alguna asignatura. Datos del enunciado: - Total de alumnos: $35$ - Alumnos que asisten: $30 \implies P(A) = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}$ - Alumnos que no asisten: $35 - 30 = 5 \implies P(\bar{A}) = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$ - Probabilidad de aprobar si asiste: $P(S|A) = 0,8 = \frac{4}{5}$ - Probabilidad de aprobar si no asiste: $P(S|\bar{A}) = 0,1 = \frac{1}{10}$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para calcular la probabilidad de que un alumno apruebe $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(\bar{A}) \cdot P(S|\bar{A})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S) = \left( \frac{30}{35} \right) \cdot 0,8 + \left( \frac{5}{35} \right) \cdot 0,1$$ $$P(S) = \frac{30 \cdot 0,8}{35} + \frac{5 \cdot 0,1}{35} = \frac{24}{35} + \frac{0,5}{35} = \frac{24,5}{35}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(S) = 0,7$$ Para expresar el resultado como porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,7 \cdot 100 = 70 \%$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (aprobar) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (asistir o no asistir). ✅ **Resultado:** $$\boxed{70 \%}$$

**b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcular la probabilidad de que un alumno haya asistido a clase.** Nos piden la probabilidad de que haya asistido dado que ha suspendido, es decir, $P(A|\bar{S})$. Primero, calculamos la probabilidad de suspender $P(\bar{S})$ usando el suceso contrario: $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0,7 = 0,3$$ Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{S}) = \frac{P(A \cap \bar{S})}{P(\bar{S})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{S}|A)}{P(\bar{S})}$$ Sabemos que $P(\bar{S}|A) = 1 - P(S|A) = 1 - 0,8 = 0,2$. Sustituimos en la fórmula: $$P(A|\bar{S}) = \frac{\frac{30}{35} \cdot 0,2}{0,3}$$ Operamos con cuidado: $$P(A|\bar{S}) = \frac{\frac{6}{35}}{0,3} = \frac{0,171428...}{0,3} \approx 0,5714$$ O de forma exacta: $$P(A|\bar{S}) = \frac{6/35}{3/10} = \frac{60}{105} = \frac{4}{7}$$ 💡 **Tip:** Bayes se utiliza para calcular la probabilidad de una 'causa' (asistir) conocido el 'efecto' (suspender). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{S}) = \frac{4}{7} \approx 0,5714}$$