Distribución Normal de la estancia vacacional

Definimos la variable aleatoria $X$ como la duración (en días) de la estancia vacacional de una familia. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 15$ - Desviación típica: $\sigma = 4$ Por tanto, escribimos: **$X \sim N(15, 4)$**. Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, para pasar de nuestra variable $X$ a una variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. 💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Esto nos permite usar las tablas de la normal estándar.

**a) Calcular la probabilidad de que la estancia de una familia sea inferior a 10 días.** Buscamos calcular $P(X \lt 10)$. Primero, tipificamos el valor $x = 10$: $$Z = \frac{10 - 15}{4} = \frac{-5}{4} = -1.25$$ Entonces, la probabilidad buscada es: $$P(X \lt 10) = P(Z \lt -1.25)$$ Como las tablas de la normal solo muestran valores positivos y acumulados desde la izquierda, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -1.25) = P(Z \gt 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \lt -a) = P(Z \gt a)$ y que la probabilidad total bajo la curva es $1$.

Buscamos en la tabla de la distribución $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $1.25$: $$P(Z \le 1.25) = 0.8944$$ Sustituimos en nuestra expresión: $$P(X \lt 10) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 10) = 0.1056}$$

**b) Calcular la probabilidad de que la estancia esté comprendida entre 11 y 19 días.** Buscamos calcular $P(11 \lt X \lt 19)$. Tipificamos ambos valores límites del intervalo: - Para $x_1 = 11$: $Z_1 = \dfrac{11 - 15}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1$ - Para $x_2 = 19$: $Z_2 = \dfrac{19 - 15}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ La probabilidad queda planteada como: $$P(11 \lt X \lt 19) = P(-1 \lt Z \lt 1)$$ Para resolver la probabilidad en un intervalo $(a, b)$, aplicamos: $$P(a \lt Z \lt b) = P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$$ En nuestro caso: $$P(-1 \lt Z \lt 1) = P(Z \lt 1) - P(Z \lt -1)$$ 💡 **Tip:** Para valores negativos, recuerda que $P(Z \lt -k) = 1 - P(Z \le k)$.

Desarrollamos la expresión utilizando las propiedades vistas: $$P(-1 \lt Z \lt 1) = P(Z \lt 1) - [1 - P(Z \le 1)]$$ $$P(-1 \lt Z \lt 1) = 2 \cdot P(Z \lt 1) - 1$$ Buscamos en la tabla de la normal el valor para $Z = 1$: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ Calculamos el valor final: $$P(11 \lt X \lt 19) = 2 \cdot 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(11 \lt X \lt 19) = 0.6826}$$