Posición relativa entre rectas y planos

**a) las rectas $r$ y $s$** Para estudiar la posición relativa entre dos rectas, primero identificamos un punto y un vector director de cada una. La recta $s$ está dada en forma continua: $s \equiv \frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 1}{3}$. - Punto de $s$: $P_s(-3, -2, 1)$ - Vector director de $s$: $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $r$ está definida como la intersección de dos planos. El vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, 1, -1), \quad \vec{n}_2 = (4, -2, 2)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(2 - (-4)) + \vec{k}(-2 - 4) = 0\vec{i} - 6\vec{j} - 6\vec{k} = (0, -6, -6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-6$: **$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$**. Para hallar un punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $z = 0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 4x - 2y = 10 \to 2x - y = 5 \end{cases}$$ Sumando las ecuaciones: $3x = 6 \implies x = 2$. Sustituyendo en la primera: $2 + y = 1 \implies y = -1$. El punto es **$P_r(2, -1, 0)$**. $$\boxed{P_r(2, -1, 0), \quad \vec{v}_r = (0, 1, 1)}$$

Primero comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$. Como sus coordenadas no son proporcionales $(\frac{0}{1} \neq \frac{1}{2})$, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Para saber si se cortan o se cruzan, estudiamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-3-2, -2-(-1), 1-0) = (-5, -1, 1)$$ Calculamos el determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + (-15) + (-1) - (-10 + 0 + 1) = -16 - (-9) = -7$$ Como el determinante es distinto de cero $(\neq 0)$, los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas están en planos distintos y no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) el plano $\pi$ y la recta $s$** Analizamos la relación entre el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$ y el vector director de la recta $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$. Calculamos su producto escalar: $$\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi = (1, 2, 3) \cdot (1, 1, -1) = 1(1) + 2(1) + 3(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$$ Como el producto escalar es 0, el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Esto implica que la recta es **paralela al plano o está contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$, comprueba si un punto de la recta pertenece al plano para distinguir entre paralela y contenida.

Tomamos el punto $P_s(-3, -2, 1)$ de la recta $s$ y lo sustituimos en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y - z + 6 = 0$: $$(-3) + (-2) - (1) + 6 = -3 - 2 - 1 + 6 = -6 + 6 = 0$$ Como el punto $P_s$ satisface la ecuación del plano, el punto pertenece a $\pi$. Dado que la recta es paralela al plano y tiene un punto en común, toda la recta debe estar dentro del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } s \text{ está contenida en el plano } \pi}$$