Ecuación del plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano

Para hallar la ecuación de un plano $\alpha$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano $\alpha$ contiene a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será uno de los vectores directores del plano, y cualquier punto $P_r$ de la recta pertenecerá al plano. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 3, -4) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (-1, -2, 1)$$ El vector director de la recta se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = [3 \cdot 1 - (-4) \cdot (-2)]\vec{i} - [1 \cdot 1 - (-4) \cdot (-1)]\vec{j} + [1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1)]\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (3 - 8)\vec{i} - (1 - 4)\vec{j} + (-2 + 3)\vec{k} = (-5, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos. $$\boxed{\vec{v}_r = (-5, 3, 1)}$$

Necesitamos un punto $P_r$ de la recta. Para ello, damos un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo $z = 0$, y resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + 3y + 9 = 0 \\ -x - 2y + 1 = 0 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones directamente: $$(x - x) + (3y - 2y) + (9 + 1) = 0 \implies y + 10 = 0 \implies y = -10$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$-x - 2(-10) + 1 = 0 \implies -x + 20 + 1 = 0 \implies x = 21$$ El punto de la recta es: $$\boxed{P_r(21, -10, 0)}$$

Llamemos $\alpha$ al plano que queremos calcular. Sabemos que: 1. Contiene a $r$, luego usa $\vec{v}_r = (-5, 3, 1)$ como vector director. 2. Es perpendicular al plano $\pi \equiv x + 3y + z + 1 = 0$. Si dos planos son perpendiculares, el vector normal del plano dado, $\vec{n}_\pi = (1, 3, 1)$, es paralelo al plano buscado $\alpha$. Por tanto, $\vec{n}_\pi$ nos sirve como segundo vector director de $\alpha$. Resumen de elementos para el plano $\alpha$: - Punto: $P_r(21, -10, 0)$ - Vector director 1: $\vec{u} = \vec{v}_r = (-5, 3, 1)$ - Vector director 2: $\vec{v} = \vec{n}_\pi = (1, 3, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano es perpendicular a otro, el vector normal de uno puede usarse como vector director del otro (siempre que no sean paralelos).

La ecuación del plano $\alpha$ se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 21 & y + 10 & z - 0 \\ -5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 21) \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - (y + 10) \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: - $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 3 = 0$ - $\begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -5 - 1 = -6$ - $\begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -15 - 3 = -18$ Sustituimos: $$0(x - 21) - (-6)(y + 10) + (-18)z = 0$$ $$6(y + 10) - 18z = 0 \implies 6y + 60 - 18z = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre 6 para simplificar: $$y - 3z + 10 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y - 3z + 10 = 0}$$