Inversa y potencias de una matriz con parámetro

**6.- (2 puntos) Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad m \in \mathbb{R}.$$ Hallar $A^{-1}$ y $A^{10}$.** Para hallar la matriz inversa $A^{-1}$, primero debemos comprobar si existe calculando su determinante $|A|$. Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular inferior (o simplemente aplicando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila), el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible** para cualquier valor de $m$. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz identidad con algún elemento extra fuera de la diagonal (como en este caso) suele ser 1, lo que simplifica mucho los cálculos de la inversa.

Utilizamos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ Primero, calculamos la matriz de adjuntos (cofactores) $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ m & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ m & 0 \end{vmatrix} = -m$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, como $|A|=1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado de la inversa:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{10}$, buscaremos una regla de recurrencia calculando las primeras potencias $A^2, A^3, \dots$ Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot m & 0 & 0 \\ 0 & 1\cdot 1 & 0 \\ m\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot m & 0 & 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2m & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2m+m & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices con esta estructura, los elementos de la diagonal suelen mantenerse y solo cambian de forma lineal los elementos que contienen al parámetro.

A partir de los resultados anteriores: $$A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1m & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2m & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Podemos inducir que la potencia $n$-ésima de la matriz es: $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ n \cdot m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Por tanto, para $n=10$: $$A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 10m & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado de la potencia:** $$\boxed{A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 10m & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$