Cálculo de un determinante de Vandermonde de orden 4

**5.- (2 puntos) Calcular el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix}$$** Este determinante es conocido como el **determinante de Vandermonde** de orden 4. Para resolverlo, utilizaremos las propiedades de los determinantes con el objetivo de hacer ceros en la primera columna y reducir el orden de la matriz. La estrategia más eficiente consiste en realizar combinaciones lineales de filas de abajo hacia arriba, multiplicando la fila anterior por $x$ para anular las potencias de la primera columna. 💡 **Tip:** Recuerda que el valor de un determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de las demás.

Aplicamos las siguientes operaciones elementales en las filas, empezando por la última para no perder los valores que necesitamos: 1. $F_4 \leftarrow F_4 - x \cdot F_3$ 2. $F_3 \leftarrow F_3 - x \cdot F_2$ 3. $F_2 \leftarrow F_2 - x \cdot F_1$ Calculamos los elementos resultantes: - En la segunda columna: $y - x$, $y^2 - xy = y(y-x)$, $y^3 - xy^2 = y^2(y-x)$. - En la tercera columna: $z - x$, $z^2 - xz = z(z-x)$, $z^3 - xz^2 = z^2(z-x)$. - En la cuarta columna: $t - x$, $t^2 - xt = t(t-x)$, $t^3 - xt^2 = t^2(t-x)$. El determinante queda: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & y-x & z-x & t-x \\ 0 & y(y-x) & z(z-x) & t(t-x) \\ 0 & y^2(y-x) & z^2(z-x) & t^2(t-x) \end{vmatrix}$$

Desarrollamos el determinante por los elementos de la primera columna (que ahora tiene tres ceros): $$1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} y-x & z-x & t-x \\ y(y-x) & z(z-x) & t(t-x) \\ y^2(y-x) & z^2(z-x) & t^2(t-x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y-x & z-x & t-x \\ y(y-x) & z(z-x) & t(t-x) \\ y^2(y-x) & z^2(z-x) & t^2(t-x) \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al desarrollar por una columna, el signo viene dado por $(-1)^{i+j}$. Como estamos en el elemento $a_{11}$, el signo es positivo.

Observamos que en el nuevo determinante de orden 3: - En la **primera columna** todos los elementos son múltiplos de $(y-x)$. - En la **segunda columna** todos los elementos son múltiplos de $(z-x)$. - En la **tercera columna** todos los elementos son múltiplos de $(t-x)$. Extraemos estos factores fuera del determinante: $$(y-x)(z-x)(t-x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y & z & t \\ y^2 & z^2 & t^2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una línea de un determinante están multiplicados por un mismo número, dicho número puede extraerse como factor común.

El determinante resultante es de nuevo un Vandermonde, ahora de orden 3. Podemos aplicar el mismo proceso (o usar la regla de Sarrus, aunque es más elegante seguir el método). Realizamos ceros en la primera fila mediante operaciones de columna: $C_2 \leftarrow C_2 - C_1$ $C_3 \leftarrow C_3 - C_1$ $$(y-x)(z-x)(t-x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y & z-y & t-y \\ y^2 & z^2-y^2 & t^2-y^2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(y-x)(z-x)(t-x) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} z-y & t-y \\ z^2-y^2 & t^2-y^2 \end{vmatrix}$$ Recordamos la identidad notable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ y extraemos factores comunes de las columnas: $$(y-x)(z-x)(t-x) \begin{vmatrix} z-y & t-y \\ (z-y)(z+y) & (t-y)(t+y) \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ z+y & t+y \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante $2 \times 2$ final: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ z+y & t+y \end{vmatrix} = (t+y) - (z+y) = t - z$$

Multiplicando todos los factores obtenidos durante el proceso, llegamos a la solución simplificada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z)}$$ O de forma más ordenada: $$\boxed{(t-z)(t-y)(t-x)(z-y)(z-x)(y-x)}$$