Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**4.- (2 puntos) Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$, el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} (a - 1)x + y + 3az = 1, \\ ax + ay + z = a, \\ (a - 1)x + y + (a - 1)z = -2a + 1. \end{cases}$$** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a-1 & 1 & 3a \\ a & a & 1 \\ a-1 & 1 & a-1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a-1 & 1 & 3a & 1 \\ a & a & 1 & a \\ a-1 & 1 & a-1 & -2a+1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y buscaremos sus raíces. 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ y el sistema será compatible determinado.

Calculamos $|A|$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} a-1 & 1 & 3a \\ a & a & 1 \\ a-1 & 1 & a-1 \end{vmatrix}$$ Restamos la tercera fila a la primera ($F_1 \to F_1 - F_3$): $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2a+1 \\ a & a & 1 \\ a-1 & 1 & a-1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por los elementos de la primera fila: $$|A| = (2a+1) \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a-1 & 1 \end{vmatrix} = (2a+1) \cdot [a(1) - a(a-1)]$$ $$|A| = (2a+1) \cdot (a - a^2 + a) = (2a+1) \cdot (2a - a^2) = a(2a+1)(2-a)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a(2a+1)(2-a) = 0 \implies a = 0, \quad a = -1/2, \quad a = 2$$ $$\boxed{|A| = a(2a+1)(2-a)}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando cada caso: **Caso 1: $a \neq 0, a \neq -1/2, a \neq 2$** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es $n=3$, se cumple que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $a = 2$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$. El determinante $|A|=0$, luego $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -11 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-3 + 12 + 2) - (1 + 2 - 36) = 11 + 33 = 44 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -1/2$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -3/2 & 1 & -3/2 & 1 \\ -1/2 & -1/2 & 1 & -1/2 \\ -3/2 & 1 & -3/2 & 2 \end{array}\right)$. Observamos las filas $F_1$ y $F_3$: $F_1: -\frac{3}{2}x + y - \frac{3}{2}z = 1$ $F_3: -\frac{3}{2}x + y - \frac{3}{2}z = 2$ Esto es una contradicción evidente, por lo que el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = 0$** $A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. $\text{rg}(A) = 2$ pues $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. El menor de $A^*$ con las columnas 1, 3 y 4 es: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 = 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Para $a = 0$, el sistema original se reduce a: $$\begin{cases} -x + y = 1 \\ z = 0 \\ -x + y - z = 1 \end{cases}$$ La tercera ecuación es redundante con la primera dado que $z=0$. Resolvemos en función de un parámetro $\lambda$: Sea $x = \lambda$. De la primera ecuación: $y = 1 + x = 1 + \lambda$. ✅ **Resultado para $a=0$:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 + \lambda, 0), \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para resolver el SCD, podemos usar el método de eliminación por reducción sobre el sistema original: (1) $(a - 1)x + y + 3az = 1$ (2) $ax + ay + z = a$ (3) $(a - 1)x + y + (a - 1)z = -2a + 1$ Restamos (1) - (3) para eliminar $x$ e $y$: $$(3a - (a-1))z = 1 - (-2a+1) \implies (2a+1)z = 2a \implies z = \frac{2a}{2a+1}$$ Sustituimos $z$ en (2) y dividimos por $a$ (ya que $a \neq 0$): $$x + y + \frac{2}{2a+1} = 1 \implies x + y = 1 - \frac{2}{2a+1} = \frac{2a-1}{2a+1}$$ Ahora usamos la ecuación (1) sustituyendo $y = \frac{2a-1}{2a+1} - x$: $$(a-1)x + \left(\frac{2a-1}{2a+1} - x\right) + 3a\left(\frac{2a}{2a+1}\right) = 1$$ $$(a-2)x + \frac{2a-1 + 6a^2}{2a+1} = 1 \implies (a-2)x = 1 - \frac{6a^2 + 2a - 1}{2a+1}$$ $$(a-2)x = \frac{2a+1 - 6a^2 - 2a + 1}{2a+1} = \frac{2 - 6a^2}{2a+1} \implies (2-a)x = \frac{6a^2-2}{2a+1}$$ $$x = \frac{6a^2-2}{(2a+1)(2-a)}$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = \frac{2a-1}{2a+1} - \frac{6a^2-2}{(2a+1)(2-a)} = \frac{(2a-1)(2-a) - (6a^2-2)}{(2a+1)(2-a)} = \frac{5a - 8a^2}{(2a+1)(2-a)}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} a=0 \implies \text{SCI}: (x,y,z)=(\lambda, 1+\lambda, 0) \\ a=2, a=-1/2 \implies \text{SI (Sin solución)} \\ a \notin \{0, 2, -1/2\} \implies \text{SCD}: x = \frac{6a^2-2}{(2a+1)(2-a)}, y = \frac{a(5-8a)}{(2a+1)(2-a)}, z = \frac{2a}{2a+1} \end{cases}}$$