Cálculo del área entre dos funciones parabólicas

Para calcular el área del recinto limitado por dos funciones en un intervalo $[a, b]$, primero debemos comprobar si las funciones se cortan dentro de dicho intervalo, ya que esto cambiaría el planteamiento de la integral. Igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$\frac{x^2}{9} + \frac{x}{3} - 2 = (x - 2)^2 - 1$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $(x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$. Por tanto: $$\frac{x^2}{9} + \frac{x}{3} - 2 = x^2 - 4x + 3$$ Multiplicamos toda la ecuación por $9$ para eliminar denominadores: $$x^2 + 3x - 18 = 9x^2 - 36x + 27$$ Agrupamos términos en un lado de la igualdad: $$8x^2 - 39x + 45 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{39 \pm \sqrt{(-39)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 45}}{2 \cdot 8} = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1440}}{16} = \frac{39 \pm \sqrt{81}}{16}$$ $$x = \frac{39 \pm 9}{16} \implies x_1 = \frac{48}{16} = 3, \quad x_2 = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1.875$$ Los puntos de corte son $x = 3$ y $x = 1.875$. En nuestro intervalo $[3, 5]$, las funciones **solo se cortan en el extremo inferior ($x = 3$)**, por lo que no hay cruces en el interior del recinto. 💡 **Tip:** Si existiera un punto de corte dentro del intervalo, tendríamos que dividir la integral en dos partes para asegurar que el área sea siempre positiva.

Como las funciones no se cortan en el intervalo $(3, 5)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 4$, para saber cuál está por encima: - $f(4) = \frac{4^2}{9} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{16}{9} + \frac{12}{9} - \frac{18}{9} = \frac{10}{9} \approx 1.11$ - $g(4) = (4 - 2)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3$ Como $g(4) \gt f(4)$, la función **$g(x)$ está por encima de $f(x)$** en el intervalo $[3, 5]$. El área se calculará mediante la integral: $$A = \int_{3}^{5} (g(x) - f(x)) \, dx$$

Planteamos la función a integrar $h(x) = g(x) - f(x)$: $$h(x) = (x^2 - 4x + 3) - \left( \frac{x^2}{9} + \frac{x}{3} - 2 \right) = x^2 - \frac{x^2}{9} - 4x - \frac{x}{3} + 3 + 2$$ $$h(x) = \frac{8}{9}x^2 - \frac{13}{3}x + 5$$ Calculamos la integral definida: $$A = \int_{3}^{5} \left( \frac{8}{9}x^2 - \frac{13}{3}x + 5 \right) \, dx = \left[ \frac{8}{9} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{13}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + 5x \right]_3^5$$ $$A = \left[ \frac{8}{27}x^3 - \frac{13}{6}x^2 + 5x \right]_3^5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites superior ($5$) e inferior ($3$): **Para $x = 5$:** $$G(5) = \frac{8}{27}(5)^3 - \frac{13}{6}(5)^2 + 5(5) = \frac{8 \cdot 125}{27} - \frac{13 \cdot 25}{6} + 25 = \frac{1000}{27} - \frac{325}{6} + 25$$ Calculamos el común denominador ($54$): $$G(5) = \frac{2000}{54} - \frac{2925}{54} + \frac{1350}{54} = \frac{425}{54}$$ **Para $x = 3$:** $$G(3) = \frac{8}{27}(3)^3 - \frac{13}{6}(3)^2 + 5(3) = 8 - \frac{117}{6} + 15 = 23 - \frac{39}{2} = \frac{46 - 39}{2} = \frac{7}{2} = \frac{189}{54}$$ Calculamos la diferencia: $$A = G(5) - G(3) = \frac{425}{54} - \frac{189}{54} = \frac{236}{54} = \frac{118}{27} \, u^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{118}{27} \approx 4.37 \, u^2}$$