Dominio, asíntotas y recta tangente en el punto de inflexión

**2.- (2 puntos) Determinar el dominio y las asíntotas de la función $$f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}.$$** La función dada es una función racional. El dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Por lo tanto, el dominio de la función es todo $\mathbb{R}$ excepto el punto $x = -2$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio (donde se anula el denominador). Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $-2$: $$\lim_{x \to -2} \frac{x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{-2 + 3}{(-2 + 2)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = -2$. Al estar el denominador elevado al cuadrado, tanto por la izquierda como por la derecha el límite tiende a $+\infty$. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = -2}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 3}{(x + 2)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 4}$$ Como el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$), el límite es $0$: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en la recta **$y = 0$** (el eje $OX$). Al existir asíntota horizontal, **no existe asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es siempre $y = 0$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -2, \quad \text{AH: } y = 0, \quad \text{AO: No existe}}$$

**Calcular la recta tangente en su punto de inflexión.** Para encontrar el punto de inflexión, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. Primero calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 2)^2 - (x + 3) \cdot 2(x + 2)}{(x + 2)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x + 2)$: $$f'(x) = \frac{(x + 2) - 2(x + 3)}{(x + 2)^3} = \frac{x + 2 - 2x - 6}{(x + 2)^3} = \frac{-x - 4}{(x + 2)^3}$$ Ahora calculamos $f''(x)$ derivando $f'(x)$: $$f''(x) = \frac{-1 \cdot (x + 2)^3 - (-x - 4) \cdot 3(x + 2)^2}{(x + 2)^6}$$ Simplificamos de nuevo por $(x + 2)^2$: $$f''(x) = \frac{-(x + 2) - 3(-x - 4)}{(x + 2)^4} = \frac{-x - 2 + 3x + 12}{(x + 2)^4} = \frac{2x + 10}{(x + 2)^4}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{-x - 4}{(x + 2)^3}, \quad f''(x) = \frac{2x + 10}{(x + 2)^4}}$$

Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$: $$\frac{2x + 10}{(x + 2)^4} = 0 \implies 2x + 10 = 0 \implies x = -5$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -5) & -5 & (-5, -2)\\\hline 2x+10 & - & 0 & +\\ (x+2)^4 & + & + & +\\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $f''(x)$ al pasar por $x = -5$, tenemos un **punto de inflexión**. Calculamos la ordenada del punto: $$f(-5) = \frac{-5 + 3}{(-5 + 2)^2} = \frac{-2}{(-3)^2} = -\frac{2}{9}$$ El punto de inflexión es $P\left(-5, -\frac{2}{9}\right)$. ✅ **Resultado (Punto):** $$\boxed{P\left(-5, -\frac{2}{9}\right)}$$

La pendiente de la recta tangente $m$ en $x = -5$ es el valor de la primera derivada en ese punto: $$m = f'(-5) = \frac{-(-5) - 4}{(-5 + 2)^3} = \frac{5 - 4}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$$ Usamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$ $$y - \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{1}{27}(x - (-5))$$ $$y + \frac{2}{9} = -\frac{1}{27}(x + 5)$$ Multiplicamos todo por $27$ para simplificar (opcional) o despejamos $y$: $$y = -\frac{1}{27}x - \frac{5}{27} - \frac{6}{27} \implies y = -\frac{1}{27}x - \frac{11}{27}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en el punto de tangencia. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -\frac{1}{27}x - \frac{11}{27}}$$