Continuidad y derivabilidad de una función con parámetros

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. En este caso, el punto crítico es $x = 3$, donde la función cambia de rama. Una función es continua en $x = c$ si se cumple que: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$ Analizamos la continuidad en $x = 3$: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** Usamos la primera rama. $$\lim_{x \to 3^-} a(x^2 - 9) + \frac{bx}{3} - b = a(3^2 - 9) + \frac{3b}{3} - b = a(0) + b - b = 0$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 3^+$) y valor de la función ($f(3)$):** Usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to 3^+} \ln(b(x - 2)) = \ln(b(3 - 2)) = \ln(b)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el logaritmo esté definido, el argumento debe ser positivo. Como evaluamos cerca de $x=3$, necesitamos que $b(3-2) \gt 0$, lo que implica que **$b \gt 0$**.

Igualamos los límites laterales para asegurar la continuidad: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) \implies 0 = \ln(b)$$ Para despejar $b$, aplicamos la función exponencial en ambos lados: $$e^0 = b \implies b = 1$$ Como $1 \gt 0$, el valor es válido para el dominio del logaritmo. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 1}$$

Una vez garantizada la continuidad con $b = 1$, estudiamos la **derivabilidad**. Primero, calculamos la derivada de la función en las regiones $x \lt 3$ y $x \gt 3$. Sustituimos $b = 1$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} a(x^2 - 9) + \frac{x}{3} - 1, & x < 3, \\ \ln(x - 2), & x \ge 3, \end{cases}$$ Calculamos $f'(x)$ derivando cada rama: - Para $x \lt 3$: $(a(x^2 - 9) + \frac{x}{3} - 1)' = 2ax + \frac{1}{3}$ - Para $x \gt 3$: $(\ln(x - 2))' = \frac{1}{x - 2} \cdot (x - 2)' = \frac{1}{x - 2}$ La función derivada (a falta de comprobar el punto $x=3$) es: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + \frac{1}{3} & \text{si } x < 3, \\ \frac{1}{x - 2} & \text{si } x > 3. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la cadena para el logaritmo: $[\ln(u(x))]' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Para que la función sea derivable en $x = 3$, las derivadas laterales deben coincidir: $$f'(3^-) = f'(3^+)$$ Calculamos los límites de la derivada: 1. **Derivada por la izquierda:** $$f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} \left( 2ax + \frac{1}{3} \right) = 2a(3) + \frac{1}{3} = 6a + \frac{1}{3}$$ 2. **Derivada por la derecha:** $$f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{3 - 2} = 1$$ Igualamos ambos resultados: $$6a + \frac{1}{3} = 1$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$6a = 1 - \frac{1}{3} \implies 6a = \frac{2}{3} \implies a = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado final:** Los valores de los parámetros para que la función sea derivable son: $$\boxed{a = \frac{1}{9}, \quad b = 1}$$