Probabilidad condicionada y sucesos independientes

Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: "Tener el cabello castaño". - $A$: "Tener los ojos azules". Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(C) = 40\% = 0,40$ - $P(A) = 35\% = 0,35$ - $P(C \cap A) = 15\% = 0,15$ Para visualizar mejor la situación, podemos construir una **tabla de contingencia** completando los valores que faltan (sabiendo que la suma total debe ser $1$): $$\begin{array}{c|cc|c} & A & A^c & \text{Total} \\ \hline C & 0,15 & 0,25 & 0,40 \\ C^c & 0,20 & 0,40 & 0,60 \\ \hline \text{Total} & 0,35 & 0,65 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para completar la tabla, restamos de los totales. Por ejemplo, $P(C \cap A^c) = P(C) - P(C \cap A) = 0,40 - 0,15 = 0,25$.

**a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cúal es la probabilidad de que tenga los ojos azules?** Nos piden la probabilidad de que tenga los ojos azules sabiendo que tiene el cabello castaño. Se trata de una **probabilidad condicionada**: $P(A|C)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A|C) = \frac{0,15}{0,40} = 0,375$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|A)$ es la probabilidad de que ocurra $B$ dado que ya ha ocurrido $A$. Se calcula como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la probabilidad del suceso que condiciona (el que sabemos que ha ocurrido). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|C) = 0,375}$$

**b) Si tiene los ojos azules, ¿cúal es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?** En este caso, la condición es que tiene los ojos azules ($A$) y queremos saber la probabilidad de que no sea castaño ($C^c$). Buscamos $P(C^c|A)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C^c|A) = \frac{P(C^c \cap A)}{P(A)}$$ De nuestra tabla de contingencia o restando la intersección del total de ojos azules: $$P(C^c \cap A) = P(A) - P(C \cap A) = 0,35 - 0,15 = 0,20$$ Ahora calculamos el cociente: $$P(C^c|A) = \frac{0,20}{0,35} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7} \approx 0,5714$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C^c|A) = \frac{4}{7} \approx 0,5714}$$

**c) ¿Cúal es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?** Buscamos la probabilidad de la intersección de los sucesos contrarios: $P(C^c \cap A^c)$. Podemos obtener este valor directamente de nuestra tabla de contingencia, donde observamos que la intersección de "No castaño" y "No azules" es **$0,40$**. También podemos usar las **Leyes de De Morgan**: $$P(C^c \cap A^c) = P((C \cup A)^c) = 1 - P(C \cup A)$$ Calculamos primero la unión (apartado d): $$P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A) = 0,40 + 0,35 - 0,15 = 0,60$$ Entonces: $$P(C^c \cap A^c) = 1 - 0,60 = 0,40$$ 💡 **Tip:** La Ley de De Morgan establece que "ni uno ni otro" es lo mismo que el contrario de "uno o el otro": $C^c \cap A^c = (C \cup A)^c$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C^c \cap A^c) = 0,40}$$

**d) ¿Cúal es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?** Nos piden la probabilidad de la unión de los dos sucesos: $P(C \cup A)$. Aplicamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: $$P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A)$$ Sustituimos los datos del enunciado: $$P(C \cup A) = 0,40 + 0,35 - 0,15$$ $$P(C \cup A) = 0,75 - 0,15 = 0,60$$ Esto significa que el $60\%$ de los alumnos tiene alguna de las dos características. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cup A) = 0,60}$$