Distribución normal y cálculo de defectuosos

**a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.** Definimos la variable aleatoria $X$ como la capacidad de los recipientes en las unidades correspondientes. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(10; 0,1)$$ Donde la media es $\mu = 10$ y la desviación típica es $\sigma = 0,1$. Un recipiente es **defectuoso** si su capacidad **no** está en el intervalo $[9,8; 10,1]$. Por tanto, un recipiente es defectuoso si $X \lt 9,8$ o si $X \gt 10,1$. La probabilidad de ser defectuoso, $P(D)$, es: $$P(D) = P(X \lt 9,8) + P(X \gt 10,1)$$ 💡 **Tip:** En lugar de calcular estas dos colas, es más sencillo calcular primero la probabilidad de ser "no defectuoso" (estar en el intervalo) y luego usar el suceso contrario: $P(D) = 1 - P(9,8 \le X \le 10,1)$.

Para calcular probabilidades en una normal, debemos tipificar la variable para pasar a una $Z \sim N(0,1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$. Calculamos la probabilidad de que el recipiente sea **válido** (no defectuoso): $$P(9,8 \le X \le 10,1) = P\left(\frac{9,8 - 10}{0,1} \le Z \le \frac{10,1 - 10}{0,1}\right)$$ $$= P\left(\frac{-0,2}{0,1} \le Z \le \frac{0,1}{0,1}\right) = P(-2 \le Z \le 1)$$ Utilizamos las propiedades de la distribución normal: $$P(-2 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -2)$$ $$= P(Z \le 1) - P(Z \ge 2) = P(Z \le 1) - [1 - P(Z \le 2)]$$ $$= P(Z \le 1) + P(Z \le 2) - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ por la simetría de la campana de Gauss.

Buscamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: - $P(Z \le 1) = 0,8413$ - $P(Z \le 2) = 0,9772$ Sustituimos para hallar la probabilidad de ser **no defectuoso**: $$P(9,8 \le X \le 10,1) = 0,8413 + 0,9772 - 1 = 0,8185$$ Finalmente, la probabilidad de ser **defectuoso** es el complementario: $$P(D) = 1 - 0,8185 = 0,1815$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0,1815}$$ (También se podría haber hecho calculando las colas directamente: $P(Z \lt -2) + P(Z \gt 1) = 0,0228 + 0,1587 = 0,1815$).

**b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?** Para calcular el número esperado (la esperanza matemática) en una muestra de tamaño $n$ con una probabilidad de éxito $p$, usamos la fórmula: $$E = n \cdot p$$ En este caso: - $n = 1500$ recipientes. - $p = P(D) = 0,1815$ (probabilidad de ser defectuoso). Calculamos: $$E = 1500 \cdot 0,1815 = 272,25$$ Como estamos hablando de un número de recipientes, el valor esperado es de aproximadamente 272 recipientes. 💡 **Tip:** El valor esperado no tiene por qué ser un número entero, ya que representa un promedio a largo plazo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{272,25 \text{ recipientes}}$$