Método de integración por partes

**Explicar en qué consiste el mètodo de integración por partes y aplicarlo para calcular la integral $\int x \cos(3x)dx$.** El método de **integración por partes** se utiliza para calcular la integral del producto de dos funciones. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$ Integrando ambos miembros y despejando uno de los términos, obtenemos la fórmula fundamental: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ Para aplicar este método correctamente, debemos elegir convenientemente qué parte del integrando será $u$ y qué parte será $dv$. Una regla mnemotécnica muy útil para elegir $u$ es la regla **ALPES**: 1. **A**rcos (funciones trigonométricas inversas) 2. **L**ogaritmos 3. **P**olinomios (potencias de $x$) 4. **E**xponenciales 5. **S**enos y cosenos 💡 **Tip:** El término que elijamos como $u$ debe ser fácil de derivar, y el término que elijamos como $dv$ debe ser fácil de integrar.

Para resolver la integral $\int x \cos(3x) \, dx$, observamos que tenemos un producto de un polinomio ($x$) y una función trigonométrica ($\cos(3x)$). Siguiendo la regla **ALPES**, elegimos el polinomio como $u$: - Definimos **$u = x$** $\implies$ Derivamos: **$du = dx$** - Definimos **$dv = \cos(3x) \, dx$** $\implies$ Integramos: **$v = \int \cos(3x) \, dx$** Calculamos la integral de $v$: $$v = \frac{1}{3} \sin(3x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función compuesta de tipo lineal es $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ $$\int x \cos(3x) \, dx = x \cdot \left( \frac{1}{3} \sin(3x) \right) - \int \frac{1}{3} \sin(3x) \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{1}{3} x \sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) \, dx$$ Ahora calculamos la integral restante: $$\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x)$$ Sustituyendo este resultado en la expresión anterior: $$\frac{1}{3} x \sin(3x) - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{3} \cos(3x) \right) + C$$ $$\frac{1}{3} x \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} x \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C}$$