Área entre una parábola y una recta

Para delimitar la región, primero debemos encontrar los puntos donde la parábola $f(x) = 3 - x^2$ y la recta $g(x) = 2x$ se cortan. Para ello, igualamos ambas funciones: $$3 - x^2 = 2x$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Las soluciones son: - $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ Los puntos de corte son **$x = -3$** y **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Estos valores de $x$ serán los límites de integración para calcular el área.

Para representar la región, analizamos brevemente las funciones: - **$y = 3 - x^2$**: Es una parábola con el vértice en $(0, 3)$ y abierta hacia abajo. - **$y = 2x$**: Es una recta que pasa por el origen $(0,0)$ y tiene pendiente positiva. En el intervalo $[-3, 1]$, tomamos un valor intermedio (por ejemplo, $x=0$) para determinar qué función está por encima: - $f(0) = 3 - 0^2 = 3$ - $g(0) = 2(0) = 0$ Como $3 \gt 0$, la curva $f(x) = 3 - x^2$ es la **función superior** y la recta $g(x) = 2x$ es la **función inferior** en este intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La región está limitada superiormente por } f(x) \text{ e inferiormente por } g(x) \text{ entre } x=-3 \text{ y } x=1}$$

El área $A$ de la región limitada por dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre la función superior y la inferior: $$A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituyendo nuestros valores: $$A = \int_{-3}^{1} [(3 - x^2) - (2x)] \, dx = \int_{-3}^{1} (3 - x^2 - 2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre restar la función que está gráficamente por debajo de la que está por arriba para que el resultado del área sea positivo.

Calculamos primero la integral indefinida (primitiva): $$\int (3 - x^2 - 2x) \, dx = 3x - \frac{x^3}{3} - x^2$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración: $$A = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-3}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=1$): $$F(1) = 3(1) - \frac{1^3}{3} - (1)^2 = 3 - \frac{1}{3} - 1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-3$): $$F(-3) = 3(-3) - \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 = -9 - \frac{-27}{3} - 9 = -9 + 9 - 9 = -9$$ Calculamos la diferencia final: $$A = F(1) - F(-3) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ unidades de área}}$$