Estudio de monotonía y extremos de una función exponencial

**Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = x^2e^{2x}$. Encontrar sus extremos.** Primero, observamos que el dominio de la función es $\mathbb{R}$, ya que es el producto de un polinomio y una función exponencial, ambas definidas para todo número real. Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos, necesitamos calcular la primera derivada de la función $f(x) = x^2 e^{2x}$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})'$$ Derivamos cada parte: - La derivada de $x^2$ es $2x$. - La derivada de $e^{2x}$ es $2e^{2x}$ (aplicando la regla de la cadena). Sustituyendo: $$f'(x) = 2x e^{2x} + x^2 (2e^{2x}) = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x}$$ Factorizamos para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = 2xe^{2x}(1 + x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y para la función exponencial $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$. $$\boxed{f'(x) = 2(x + x^2)e^{2x}}$$

Los puntos críticos o candidatos a extremos se encuentran donde la primera derivada es cero: $$f'(x) = 0 \implies 2e^{2x}(x^2 + x) = 0$$ Como la función exponencial $e^{2x}$ nunca es cero ($e^{2x} \gt 0$ para todo $x$), la igualdad solo se cumple si: $$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x = -1$ Estos dos valores dividen la recta real en tres intervalos para estudiar el signo de $f'(x)$: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ y $(0, +\infty)$. $$\boxed{x_1 = -1, \quad x_2 = 0}$$

Analizamos el signo de $f'(x) = 2e^{2x} \cdot x \cdot (x + 1)$ en cada intervalo. El factor $2e^{2x}$ siempre es positivo, por lo que el signo dependerá únicamente de $x(x+1)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline x & - & - & - & 0 & +\\ x+1 & - & 0 & + & + & +\\ e^{2x} & + & + & + & + & +\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ **Interpretación de la tabla:** - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \gt 0$: la función es **creciente**. - En $(-1, 0)$, $f'(x) \lt 0$: la función es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$: la función es **creciente**. ✅ **Resultado de la monotonía:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (0, +\infty); \quad \text{Decrecimiento: } (-1, 0)}$$

A partir del estudio de la monotonía, identificamos los extremos: 1. En $x = -1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(-1) = (-1)^2 e^{2(-1)} = 1 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0.135$$ 2. En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(0) = 0^2 e^{2(0)} = 0 \cdot 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo existe si hay un cambio de signo en la derivada primera. Si no hay cambio de signo, se trataría de un punto de inflexión de tangente horizontal. ✅ **Resultado final (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(-1, \frac{1}{e^2}\right) \quad \text{y Mínimo relativo en } (0, 0)}$$