Derivabilidad de una función con parámetros

**Calcular $a$ y $b$ razonadamente, sabiendo que $f$ es derivable en toda la recta real.** Para que una función sea derivable en toda la recta real, es condición necesaria que sea primero **continua** en toda la recta real. Las dos ramas de la función, $f_1(x) = ax^2 + 3x$ y $f_2(x) = x^2 - bx - 4$, son funciones polinómicas y, por tanto, son continuas y derivables en sus respectivos dominios abiertos. El único punto donde la continuidad y la derivabilidad podrían estar en duda es el punto de salto entre intervalos, $x = 2$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(2) = a(2)^2 + 3(2) = 4a + 6$ 2. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (ax^2 + 3x) = 4a + 6$ 3. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - bx - 4) = 2^2 - b(2) - 4 = 4 - 2b - 4 = -2b$ Igualamos los límites laterales para garantizar la continuidad: $$4a + 6 = -2b$$ Dividiendo entre 2 para simplificar, obtenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{2a + b = -3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es obligatorio que sea continua en dicho punto. Si no es continua, automáticamente no es derivable.

Una vez garantizada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas ($x \neq 2$): $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + 3 & \text{si } x \lt 2, \\ 2x - b & \text{si } x \gt 2. \end{cases}$$ Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: 1. $f'(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (2ax + 3) = 2a(2) + 3 = 4a + 3$ 2. $f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} (2x - b) = 2(2) - b = 4 - b$ Igualamos las derivadas laterales: $$4a + 3 = 4 - b$$ Reordenando los términos, obtenemos la segunda ecuación: $$\boxed{4a + b = 1}$$ 💡 **Tip:** Al derivar una función a trozos para estudiar la derivabilidad en el punto de frontera, no incluyas el signo igual en las desigualdades hasta haber comprobado que las derivadas laterales coinciden.

Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado por las condiciones de continuidad y derivabilidad: $$\begin{cases} 2a + b = -3 \quad (1) \\ 4a + b = 1 \quad (2) \end{cases}$$ Podemos resolver por el método de reducción restando la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(4a + b) - (2a + b) = 1 - (-3)$$ $$2a = 4$$ $$\mathbf{a = 2}$$ Sustituimos el valor de $a = 2$ en la ecuación (1) para hallar $b$: $$2(2) + b = -3$$ $$4 + b = -3$$ $$b = -3 - 4$$ $$\mathbf{b = -7}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -7}$$