Simetría de un punto respecto a un plano

**Hallar el punto $Q$, simétrico de $P = (1, 2, 3)$ respecto al plano de ecuación: $x + y + z = 0$, explicando los pasos seguidos para su cálculo.** Para hallar el punto simétrico $Q$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, seguiremos este procedimiento: 1. Calcularemos la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por $P$. 2. Hallaremos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ es el **punto medio** del segmento $PQ$. 3. Utilizaremos la fórmula del punto medio para despejar las coordenadas de $Q$. Empezamos obteniendo el vector normal del plano $\pi: x + y + z = 0$: $$\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es directamente $\vec{n} = (A, B, C)$.

Buscamos una recta $r$ que sea perpendicular al plano y pase por $P(1, 2, 3)$. Como es perpendicular al plano, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Datos de la recta $r$: - Punto: $P(1, 2, 3)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ Escribimos sus ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + (3 + \lambda) = 0$$ Simplificamos y resolvemos para $\lambda$: $$3\lambda + 6 = 0 \implies 3\lambda = -6 \implies \lambda = -2$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -2$ en las ecuaciones de $r$: $$x_M = 1 + (-2) = -1$$ $$y_M = 2 + (-2) = 0$$ $$z_M = 3 + (-2) = 1$$ Por tanto, el punto de intersección (pie de la perpendicular) es: $$\boxed{M(-1, 0, 1)}$$

Sabemos que $M$ es el punto medio del segmento que une $P$ y $Q$. Si $Q = (x, y, z)$, se cumple: $$M = \frac{P + Q}{2} \implies (-1, 0, 1) = \left( \frac{1 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}, \frac{3 + z}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $-1 = \dfrac{1 + x}{2} \implies -2 = 1 + x \implies x = -3$ 2. $0 = \dfrac{2 + y}{2} \implies 0 = 2 + y \implies y = -2$ 3. $1 = \dfrac{3 + z}{2} \implies 2 = 3 + z \implies z = -1$ 💡 **Tip:** También puedes usar la relación vectorial $\vec{OQ} = \vec{OM} + \vec{PM}$, o simplemente $Q = 2M - P$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Q(-3, -2, -1)}$$