Recta y plano paralelos con parámetros

**a) hallar $\alpha$ para que la recta y el plano sean paralelos** Para que una recta $r$ y un plano $\pi$ sean paralelos, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Primero, obtenemos el vector director de la recta $r$, que está dada como la intersección de dos planos. Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (3, 1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 1, 4)$. $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{d}_r = \vec{i} \cdot (1 \cdot 4 - (-1) \cdot 1) - \vec{j} \cdot (3 \cdot 4 - (-1) \cdot 2) + \vec{k} \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)$$ $$\vec{d}_r = \vec{i}(4 + 1) - \vec{j}(12 + 2) + \vec{k}(3 - 2) = (5, -14, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los normales de ambos, por lo que usamos el producto vectorial.

Analizamos la ecuación del plano $\pi$ para extraer su vector normal: $$\pi: 3x + (\alpha + 1)(y + 1) + \alpha z = 1$$ Expandimos la expresión para ver claramente los coeficientes de $x$, $y$ y $z$: $$3x + (\alpha + 1)y + (\alpha + 1) + \alpha z = 1$$ $$3x + (\alpha + 1)y + \alpha z + \alpha = 0$$ El vector normal del plano es el formado por los coeficientes de las variables: $$\vec{n}_\pi = (3, \alpha + 1, \alpha)$$

La recta y el plano son paralelos si $\vec{d}_r \perp \vec{n}_\pi$, es decir, si su producto escalar es cero: $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(5, -14, 1) \cdot (3, \alpha + 1, \alpha) = 0$$ Operamos: $$5(3) + (-14)(\alpha + 1) + 1(\alpha) = 0$$ $$15 - 14\alpha - 14 + \alpha = 0$$ $$1 - 13\alpha = 0$$ $$\alpha = \frac{1}{13}$$ Para que el paralelismo sea estricto (la recta no esté contenida), un punto de la recta no debe cumplir la ecuación del plano. Tomando $z=0$ en $r$, obtenemos $x=1, y=-1$. Sustituyendo en $\pi$ con $\alpha=1/13$: $3(1) + 14/13(0) + 1/13(0) = 3 \neq 1$. Por tanto, son paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \frac{1}{13}}$$

**b) determinar si el punto $P = (1, 1, 2)$ pertenece al plano hallado en a)** Sustituimos el valor de $\alpha = 1/13$ en la ecuación del plano: $$\pi: 3x + \left(\frac{1}{13} + 1\right)(y + 1) + \frac{1}{13}z = 1$$ $$\pi: 3x + \frac{14}{13}(y + 1) + \frac{1}{13}z = 1$$ Ahora comprobamos si el punto $P(1, 1, 2)$ satisface la igualdad: $$3(1) + \frac{14}{13}(1 + 1) + \frac{1}{13}(2) \stackrel{?}{=} 1$$ $$3 + \frac{14}{13}(2) + \frac{2}{13} = 1$$ $$3 + \frac{28}{13} + \frac{2}{13} = 3 + \frac{30}{13}$$ Calculamos la suma: $$\frac{39 + 30}{13} = \frac{69}{13}$$ Como $\frac{69}{13} \neq 1$ (ya que $\frac{69}{13} \approx 5,31$), el punto **no pertenece** al plano. 💡 **Tip:** Para que un punto pertenezca a un plano, sus coordenadas deben cumplir la ecuación general del mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \notin \pi}$$