Potencia n-ésima de una matriz

Para calcular una potencia elevada de una matriz, como $M^{2020}$, el método más habitual consiste en calcular las primeras potencias ($M^2, M^3, \dots$) hasta encontrar una ley de formación o patrón recurrente. Dada $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calculamos $M^2$: $$M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ 1\cdot 1 + 1\cdot 1 & 1\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas: $(A \cdot B)_{ij} = \sum A_{ik} B_{kj}$.

Calculamos ahora $M^3$ multiplicando el resultado de $M^2$ por la matriz $M$ original: $$M^3 = M^2 \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M^3 = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ 2\cdot 1 + 1\cdot 1 & 2\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Al observar los resultados: - $M^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ - $M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ - $M^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ Se aprecia que los elementos de la diagonal principal y el elemento superior derecho permanecen constantes, mientras que el elemento $a_{21}$ coincide con el exponente de la potencia.

A partir del patrón observado, podemos conjeturar que la potencia n-ésima de la matriz $M$ sigue la siguiente forma: $$M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$$ Podemos justificar razonadamente esta expresión mediante el método de inducción. Si suponemos que es cierto para $n$, para $n+1$ tendríamos: $$M^{n+1} = M^n \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ n\cdot 1 + 1\cdot 1 & n\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n+1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como se cumple la estructura, la hipótesis es correcta para cualquier número natural $n$. 💡 **Tip:** En ejercicios de potencias de matrices, siempre es recomendable indicar explícitamente la ley general antes de calcular el valor específico solicitado.

Aplicamos la ley general $M^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$ para el valor solicitado $n = 2020$: $$M^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2020 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2020 & 1 \end{pmatrix}}$$