Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**Discutir, en función de $A$, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:** Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $M \cdot X = B$, donde $M$ es la matriz de coeficientes y $M^*$ es la matriz ampliada: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & A \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2A \\ 2 & 3 & 4 & | & 2 \\ 4 & 4 & A & | & 4A \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, estudiaremos el rango de $M$ y $M^*$ aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|M|$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & A \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot A) + (1 \cdot 4 \cdot 4) + (1 \cdot 2 \cdot 4) - (4 \cdot 3 \cdot 1) - (4 \cdot 4 \cdot 1) - (A \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|M| = 3A + 16 + 8 - 12 - 16 - 2A = A - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $A$: $$A - 4 = 0 \implies A = 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o no. Si $|M| \neq 0$, el sistema es compatible determinado.

Analizamos los casos posibles para el parámetro $A$: **Caso 1: $A \neq 4$** En este caso, $|M| \neq 0$. Por tanto, el rango de $M$ es $3$. Como el rango de la matriz ampliada $M^*$ no puede ser mayor que $3$ y el número de incógnitas es $n=3$: $$\text{rango}(M) = \text{rango}(M^*) = 3 = n$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. **Caso 2: $A = 4$** Si $A=4$, el determinante $|M| = 0$. La matriz ampliada es: $$M^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 8 \\ 2 & 3 & 4 & | & 2 \\ 4 & 4 & 4 & | & 16 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $M$: Tomamos un menor de orden 2, $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(M) = 2$. Calculamos el rango de $M^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 2 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 16 \end{vmatrix} = (48 + 8 + 64) - (96 + 8 + 32) = 120 - 136 = -16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rango}(M^*) = 3$. Como $\text{rango}(M) \neq \text{rango}(M^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } A \neq 4, \text{ SCD (Solución única)} \\ \text{Si } A = 4, \text{ SI (No tiene solución)} \end{cases}}$$

Para resolver el sistema cuando $A \neq 4$, utilizamos la **Regla de Cramer**. El determinante general es $|M| = A-4$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$|M_x| = \begin{vmatrix} 2A & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4A & 4 & A \end{vmatrix} = 6A^2 + 16A + 8 - (12A + 32A + 2A) = 6A^2 - 30A + 8$$ $$|M_y| = \begin{vmatrix} 1 & 2A & 1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 4A & A \end{vmatrix} = 2A + 32A + 8A - (8 + 16A + 4A^2) = -4A^2 + 26A - 8$$ $$|M_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2A \\ 2 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 4A \end{vmatrix} = 12A + 8 + 16A - (24A + 8 + 8A) = -4A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en Cramer, $x = \frac{|M_x|}{|M|}$, $y = \frac{|M_y|}{|M|}$ y $z = \frac{|M_z|}{|M|}$. Las soluciones son: $$x = \frac{6A^2 - 30A + 8}{A-4}, \quad y = \frac{-4A^2 + 26A - 8}{A-4}, \quad z = \frac{-4A}{A-4}$$ ✅ **Resultado final (para $A \neq 4$):** $$\boxed{x = \frac{6A^2 - 30A + 8}{A-4}, \, y = \frac{-4A^2 + 26A - 8}{A-4}, \, z = \frac{-4A}{A-4}}$$