Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.** Para identificar el modelo, analizamos las características del experimento: 1. **Número de ensayos ($n$):** Hay un número fijo de plazas, $n = 30$. 2. **Independencia:** El enunciado indica que lo que ocurre en un aparcamiento es independiente de los demás. 3. **Dos posibles resultados:** Cada plaza solo puede estar "ocupada" (éxito) o "no ocupada" (fracaso). 4. **Probabilidad constante ($p$):** La probabilidad de que una plaza esté ocupada es siempre $p = 0,4$, por lo que $q = 1 - p = 0,6$. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de aparcamientos ocupados de un total de 30". Esta situación se ajusta a una **distribución Binomial**. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ describe el número de éxitos en $n$ experimentos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito $p$. $$\boxed{X \sim B(30;\, 0,4)}$$

**b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.** Debemos calcular $P(X = 8)$ utilizando la función de probabilidad de la distribución binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos los valores $n = 30$, $k = 8$, $p = 0,4$ y $q = 0,6$: $$P(X = 8) = \binom{30}{8} \cdot 0,4^8 \cdot 0,6^{30-8}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{30}{8} = \frac{30!}{8! \cdot (30-8)!} = \frac{30!}{8! \cdot 22!} = 5.852.925$$ Calculamos las potencias: $$0,4^8 \approx 0,00065536$$ $$0,6^{22} \approx 0,00001306$$ Multiplicamos todo: $$P(X = 8) = 5.852.925 \cdot 0,00065536 \cdot 0,00001306 \approx 0,0501$$ 💡 **Tip:** Para valores de $n$ grandes, el número combinatorio crece muy rápido. Asegúrate de realizar las operaciones con cuidado en la calculadora. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 8) \approx 0,0501}$$

**c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.** Se pide calcular $P(10 \le X \le 20)$. Debido a que calcular 11 términos de la binomial sería muy laborioso, comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal. Condiciones de aproximación: 1. $n \cdot p = 30 \cdot 0,4 = 12 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 30 \cdot 0,6 = 18 \gt 5$ Como ambas condiciones se cumplen, podemos aproximar $X \sim B(n, p)$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$. Calculamos los parámetros: - Media: $\mu = n \cdot p = 12$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{30 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{7,2} \approx 2,683$ $$\boxed{X \sim B(30;\, 0,4) \approx X' \sim N(12;\, 2,683)}$$

Al pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($X'$), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(10 \le X \le 20) \approx P(9,5 \le X' \le 20,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: Para $x = 9,5 \implies z_1 = \frac{9,5 - 12}{2,683} = \frac{-2,5}{2,683} \approx -0,93$ Para $x = 20,5 \implies z_2 = \frac{20,5 - 12}{2,683} = \frac{8,5}{2,683} \approx 3,17$ Por lo tanto: $$P(9,5 \le X' \le 20,5) = P(-0,93 \le Z \le 3,17)$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad consiste en ampliar el intervalo medio punto por cada lado ($10-0,5$ y $20+0,5$) para incluir la probabilidad de los valores extremos en la aproximación continua.

Calculamos la probabilidad en la normal estándar: $$P(-0,93 \le Z \le 3,17) = P(Z \le 3,17) - P(Z \le -0,93)$$ Usamos las propiedades de simetría para el valor negativo: $$P(Z \le -0,93) = 1 - P(Z \le 0,93)$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 3,17) = 0,9992$ - $P(Z \le 0,93) = 0,8238$ Sustituimos: $$P(-0,93 \le Z \le 3,17) = 0,9992 - (1 - 0,8238) = 0,9992 - 0,1762 = 0,8230$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(10 \le X \le 20) \approx 0,8230}$$