Probabilidad condicionada: Satisfacción laboral y salario

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $S$: La trabajadora está satisfecha con su contrato. - $\bar{S}$: La trabajadora no está satisfecha con su contrato. - $M$: La trabajadora gana más de 1000 euros. - $\bar{M}$: La trabajadora gana 1000 euros o menos (menos de 1000 euros). A partir de los datos del enunciado, conocemos las siguientes probabilidades: - $P(S) = 0.70 \implies P(\bar{S}) = 1 - 0.70 = 0.30$ - $P(M|S) = 0.80 \implies P(\bar{M}|S) = 1 - 0.80 = 0.20$ - $P(M|\bar{S}) = 0.20 \implies P(\bar{M}|\bar{S}) = 1 - 0.20 = 0.80$ Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol**: 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias etapas, el diagrama de árbol ayuda a visualizar todos los caminos posibles y sus probabilidades asociadas.

Para hallar la probabilidad de que una trabajadora gane más de 1000 euros ($P(M)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de los dos caminos que terminan en $M$: $$P(M) = P(S) \cdot P(M|S) + P(\bar{S}) \cdot P(M|\bar{S})$$ Sustituimos los valores: $$P(M) = (0.7 \cdot 0.8) + (0.3 \cdot 0.2)$$ $$P(M) = 0.56 + 0.06 = 0.62$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(M) = 0.62}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias condiciones o "ramas" distintas.

**b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad que esté satisfecha con su contrato?** Nos piden la probabilidad de que esté satisfecha dado que sabemos que gana más de 1000 euros, es decir, $P(S|M)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(S|M) = \frac{P(S \cap M)}{P(M)}$$ Ya conocemos $P(M) = 0.62$ del apartado anterior. Calculamos el numerador: $$P(S \cap M) = P(S) \cdot P(M|S) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$$ Ahora calculamos la probabilidad condicionada: $$P(S|M) = \frac{0.56}{0.62} \approx 0.9032$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(S|M) = \frac{28}{31} \approx 0.9032}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que $B$ ya ha sucedido. Es la proporción de casos de $B$ que también son de $A$.

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?** Nos piden la probabilidad de la intersección de estar satisfecha ($S$) y ganar menos de 1000 euros ($\bar{M}$): $$P(\bar{M} \cap S)$$ Utilizamos la definición de probabilidad compuesta a partir de las ramas del árbol: $$P(\bar{M} \cap S) = P(S) \cdot P(\bar{M}|S)$$ Sabemos que si el 80% de las satisfechas ganan más de 1000 euros, el 20% restante ($0.2$) ganan menos: $$P(\bar{M} \cap S) = 0.7 \cdot 0.2 = 0.14$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{P(\bar{M} \cap S) = 0.14}$$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de que ocurran dos sucesos seguidos (la intersección) se halla multiplicando las probabilidades a lo largo de la rama correspondiente.