Cálculo de integrales indefinidas por partes y fracciones simples

**Ejercicio B4. Calcular las integrales indefinidas $I$ y $J$ explicando los métodos usados para su resolución. $I = \int x \cos(2x)dx$** La integral $I = \int x \cos(2x)dx$ es el producto de una función polinómica ($x$) y una función trigonométrica ($\cos(2x)$). El método más adecuado para resolver este tipo de integrales es el de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(2x)dx \implies v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$ Sustituimos en la fórmula: $$I = x \cdot \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx$$ Ahora resolvemos la integral resultante: $$\int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) = -\frac{1}{4}\cos(2x)$$ Agrupamos todo y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{x}{2}\sin(2x) - \left( -\frac{1}{4}\cos(2x) \right) + C$$ $$I = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$$ ✅ **Resultado integral $I$:** $$\boxed{I = \frac{1}{2}x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C}$$

**Calcular la integral indefinida $J = \int \frac{dx}{x^2 + 2x - 3}$** La integral $J$ es una **integral racional** donde el grado del numerador es menor que el del denominador. El método consiste en descomponer la fracción en **fracciones simples**. Primero, hallamos las raíces del denominador $x^2 + 2x - 3 = 0$ usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ Por tanto, el denominador factoriza como: **$(x-1)(x+3)$**. 💡 **Tip:** Si el denominador tiene raíces reales distintas, la descomposición es del tipo $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.

Planteamos la igualdad: $$\frac{1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(x+3) + B(x-1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$ (usamos las raíces): - Si $x = 1 \implies 1 = A(1+3) \implies 1 = 4A \implies \mathbf{A = \frac{1}{4}}$ - Si $x = -3 \implies 1 = B(-3-1) \implies 1 = -4B \implies \mathbf{B = -\frac{1}{4}}$ La fracción descompuesta queda: $$\frac{1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+3}$$

Integramos cada término por separado: $$J = \int \left( \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+3} \right) dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x+3} dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$J = \frac{1}{4} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln|x+3| + C$$ Podemos simplificar usando propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$J = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+3} \right| + C$$ ✅ **Resultado integral $J$:** $$\boxed{J = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+3} \right| + C}$$