Área encerrada entre dos funciones cuadráticas

Para delimitar la región, primero debemos encontrar los valores de $x$ donde las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ se cortan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^2 - 2x + 1 = -x^2 + 5$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 2x - 4 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $2$ para simplificar los cálculos: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los dos puntos de corte: $$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte determinan los límites de integración del área que buscamos. $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

Para saber qué función queda por encima de la otra en el intervalo $(-1, 2)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 0^2 - 2(0) + 1 = 1$ - $g(0) = -(0)^2 + 5 = 5$ Como $g(0) \gt f(0)$, la parábola $g(x)$ (abierta hacia abajo) está por encima de $f(x)$ (abierta hacia arriba) en todo el intervalo. **Representación de la región:**

El área de la región encerrada entre dos funciones se calcula mediante la integral de la función superior menos la función inferior entre los puntos de corte: $$A = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 5) - (x^2 - 2x + 1)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta (Superior - Inferior) para asegurar que el resultado del área sea positivo. $$\boxed{A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx}$$

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (-2x^2 + 2x + 4) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x = -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $-1$ y $2$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{-16+36}{3} = \frac{20}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2-9}{3} = -\frac{7}{3}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(-1) = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las áreas se expresan en unidades cuadradas ($u^2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 9 \text{ u}^2}$$