Tangentes a una parábola desde el origen

Sea $A = (a, f(a))$ un punto genérico de la gráfica de la función $f(x) = x^2 + 9$ donde la recta es tangente. La ecuación de la recta tangente a una función $f$ en el punto de abscisa $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En nuestro caso, calculamos primero el valor de la función en $a$: $$f(a) = a^2 + 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una recta sea tangente a la curva en un punto, su pendiente debe coincidir con el valor de la derivada de la función en dicho punto.

Calculamos la derivada de la función para obtener la pendiente de la recta tangente en cualquier punto $x$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 9) = 2x$$ Por tanto, la pendiente en el punto de tangencia $x = a$ es: $$m = f'(a) = 2a$$ Sustituimos $f(a)$ y $f'(a)$ en la ecuación general de la recta tangente: $$y - (a^2 + 9) = 2a(x - a)$$

El enunciado indica que la recta tangente debe pasar por el punto exterior $P = (0, 0)$. Esto significa que las coordenadas $x = 0$ e $y = 0$ deben satisfacer la ecuación de la recta: $$0 - (a^2 + 9) = 2a(0 - a)$$ Operamos para simplificar la ecuación y hallar el valor de $a$: $$-a^2 - 9 = -2a^2$$ $$2a^2 - a^2 = 9$$ $$a^2 = 9$$ Esto nos da dos posibles valores para la abscisa del punto de tangencia: $$a = \pm\sqrt{9} \implies a_1 = 3, \quad a_2 = -3$$ 💡 **Tip:** Al ser una parábola simétrica respecto al eje $Y$ y estar el punto $P$ en el origen (sobre el eje de simetría), es lógico obtener dos puntos de tangencia simétricos.

Ahora calculamos las ecuaciones sustituyendo cada valor de $a$ en la ecuación $y = f'(a)x$ (ya que al pasar por el origen, la ordenada en el origen es $n=0$): **Para $a_1 = 3$:** La pendiente es $f'(3) = 2(3) = 6$. La recta es: $y - 0 = 6(x - 0) \implies y = 6x$. **Para $a_2 = -3$:** La pendiente es $f'(-3) = 2(-3) = -6$. La recta es: $y - 0 = -6(x - 0) \implies y = -6x$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = 6x \quad \text{y} \quad y = -6x}$$