Cálculo de parámetros y estudio de extremos relativos

Para hallar los valores de $a$, $b$ y $c$, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas: 1. **La gráfica pasa por $(0, 2)$**: Esto significa que $f(0) = 2$. 2. **La gráfica tiene un extremo en $(1, -1)$**: Esto implica dos condiciones: * Pasa por el punto: $f(1) = -1$. * Es un extremo relativo: La derivada en ese punto debe ser cero, es decir, $f'(1) = 0$. Calculamos la derivada general de la función: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + c \implies f'(x) = 3ax^2 + 2bx$$

Aplicamos las condiciones anteriores: * **De $f(0) = 2$**: $$a(0)^3 + b(0)^2 + c = 2 \implies \boxed{c = 2}$$ * **De $f(1) = -1$**: $$a(1)^3 + b(1)^2 + c = -1 \implies a + b + 2 = -1 \implies a + b = -3 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ * **De $f'(1) = 0$**: $$3a(1)^2 + 2b(1) = 0 \implies 3a + 2b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Resolvemos el sistema de las ecuaciones 1 y 2 por sustitución. De la primera, $b = -3 - a$. Sustituimos en la segunda: $$3a + 2(-3 - a) = 0$$ $$3a - 6 - 2a = 0 \implies \boxed{a = 6}$$ Ahora hallamos $b$: $$b = -3 - 6 \implies \boxed{b = -9}$$ La función buscada es: $$\boxed{f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2}$$ 💡 **Tip:** Cuando un punto es un extremo, siempre se cumplen dos cosas: el punto pertenece a la función y la pendiente de la recta tangente (derivada) es cero.

¿Tiene $f$ más extremos? Para comprobarlo, buscamos todos los puntos donde la primera derivada sea igual a cero. Calculamos la derivada con los valores hallados: $$f'(x) = 18x^2 - 18x$$ Igualamos a cero: $$18x^2 - 18x = 0 \implies 18x(x - 1) = 0$$ Las soluciones son: * $x = 1$ (el extremo que ya conocíamos). * $x = 0$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ para confirmar si $x = 0$ es un extremo relativo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en la derivada al pasar por $x = 0$ (pasa de crecer a decrecer), existe otro extremo relativo. Calculamos su coordenada $y$: $$f(0) = 6(0)^3 - 9(0)^2 + 2 = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, tiene otro extremo en el punto (0, 2), que es un máximo relativo.}}$$