Paralelismo entre recta y plano y plano perpendicular a una recta

**Hallar $A$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a $r$ y que pase por el origen.** Para resolver el ejercicio, primero identificamos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director de la recta $r$. 1. **Vector normal de $\pi$:** A partir de su ecuación implícita $2x - y + Az = 0$, el vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (2, -1, A)$$ 2. **Vector director de $r$:** La recta viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (4, -3, 4), \quad \vec{n}_2 = (3, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Una recta y un plano son paralelos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, es decir, $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el desarrollo del determinante: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{v}_r = [(-3)\cdot 1 - 4 \cdot (-2)]\vec{i} - [4\cdot 1 - 4\cdot 3]\vec{j} + [4\cdot (-2) - (-3)\cdot 3]\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (-3 + 8)\vec{i} - (4 - 12)\vec{j} + (-8 + 9)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = 5\vec{i} + 8\vec{j} + 1\vec{k}$$ Por lo tanto, el vector director de la recta es: $$\boxed{\vec{v}_r = (5, 8, 1)}$$

Para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos, sus vectores característicos deben ser perpendiculares: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(5, 8, 1) \cdot (2, -1, A) = 0$$ Operamos el producto escalar: $$5\cdot 2 + 8\cdot(-1) + 1\cdot A = 0$$ $$10 - 8 + A = 0$$ $$2 + A = 0 \implies A = -2$$ Para asegurar que son estrictamente paralelos y la recta no está contenida en el plano, comprobamos si un punto de la recta pertenece al plano. Buscamos un punto $P \in r$ haciendo $z=0$ en el sistema: $$\begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 3x - 2y = -3 \end{cases} \implies \dots \implies P(-7, -9, 0)$$ Sustituimos $P$ en $\pi$: $2(-7) - (-9) - 2(0) = -14 + 9 = -5 \neq 0$. Como el punto no pertenece al plano, son paralelos. ✅ **Resultado (valor de A):** $$\boxed{A = -2}$$

Buscamos un nuevo plano $\pi'$ que cumpla dos condiciones: 1. Es perpendicular a $r$: Esto implica que el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será el vector normal de nuestro plano, $\vec{n}_{\pi'}$. 2. Pasa por el origen $O(0, 0, 0)$. Utilizamos el vector $\vec{v}_r = (5, 8, 1)$ como normal del plano: $$\pi' \equiv 5x + 8y + z + D = 0$$ Imponemos que pase por el origen $O(0, 0, 0)$ para hallar $D$: $$5(0) + 8(0) + 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano buscado es: $$\boxed{5x + 8y + z = 0}$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, cualquier vector director de la recta sirve como vector normal del plano.