Plano paralelo a dos vectores y condición de perpendicularidad

**a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $(-1, 2, 3)$ y es paralelo a los vectores $\vec{v} = (-1, -2, -3)$ y $\vec{w} = (1, 3, 5)$.** Para definir un plano necesitamos un punto $P(-1, 2, 3)$ y un vector normal $\vec{n}$. Como el plano es paralelo a $\vec{v}$ y $\vec{w}$, su vector normal será el producto vectorial de ambos: $$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{n} = [(-2) \cdot 5] \vec{i} + [(-3) \cdot 1] \vec{j} + [(-1) \cdot 3] \vec{k} - [1 \cdot (-2)] \vec{k} - [3 \cdot (-3)] \vec{i} - [5 \cdot (-1)] \vec{j}$$ $$\vec{n} = -10\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k} + 2\vec{k} + 9\vec{i} + 5\vec{j}$$ $$\vec{n} = (-10+9)\vec{i} + (-3+5)\vec{j} + (-3+2)\vec{k} = (-1, 2, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano. El producto vectorial siempre genera un vector perpendicular a los dos vectores iniciales.

Con el vector normal $\vec{n} = (-1, 2, -1)$ y el punto $P(-1, 2, 3)$, la ecuación general del plano $\pi$ es de la forma: $$-1(x - x_0) + 2(y - y_0) - 1(z - z_0) = 0$$ Sustituimos las coordenadas del punto: $$-1(x - (-1)) + 2(y - 2) - 1(z - 3) = 0$$ $$-1(x + 1) + 2(y - 2) - (z - 3) = 0$$ $$-x - 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$$ $$-x + 2y - z - 2 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$\boxed{x - 2y + z + 2 = 0}$$

**b) Hallar el valor de $A$ para que el plano calculado en el apartado anterior y $Ax - y + 5z = 8$ sean perpendiculares.** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales también lo son. El producto escalar de sus vectores normales debe ser igual a cero. Identificamos los vectores normales de ambos planos: - Plano $\pi_1$: $x - 2y + z + 2 = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -2, 1)$ - Plano $\pi_2$: $Ax - y + 5z - 8 = 0 \implies \vec{n}_2 = (A, -1, 5)$ Planteamos la condición $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$: $$(1, -2, 1) \cdot (A, -1, 5) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar se calcula sumando el producto de las componentes correspondientes: $u \cdot v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.

Operamos el producto escalar obtenido en el paso anterior: $$(1 \cdot A) + (-2 \cdot (-1)) + (1 \cdot 5) = 0$$ $$A + 2 + 5 = 0$$ $$A + 7 = 0$$ Despejamos el valor de $A$: $$A = -7$$ Para que los planos sean perpendiculares, el coeficiente de la variable $x$ en el segundo plano debe ser $-7$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = -7}$$