Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa

**a) Determinar para qué valores de $\alpha$ la matriz no tiene inversa.** Una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Por lo tanto, para hallar los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz **no tiene inversa**, debemos calcular su determinante e igualarlo a cero. Calculamos el determinante de $M(\alpha)$ utilizando la regla de Sarrus: $$|M(\alpha)| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha & 1 \end{vmatrix}$$ $$|M(\alpha)| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (\alpha \cdot \alpha \cdot 0) + (1 \cdot \alpha \cdot \alpha) - [ (0 \cdot 1 \cdot 1) + (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) + (1 \cdot \alpha \cdot \alpha) ]$$ $$|M(\alpha)| = (1 + 0 + \alpha^2) - (0 + \alpha^2 + \alpha^2)$$ $$|M(\alpha)| = 1 + \alpha^2 - 2\alpha^2 = 1 - \alpha^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante por Sarrus se calcula sumando los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando los productos de la diagonal secundaria y las suyas. $$\boxed{|M(\alpha)| = 1 - \alpha^2}$$

Para que la matriz no tenga inversa, imponemos la condición $|M(\alpha)| = 0$: $$1 - \alpha^2 = 0$$ $$\alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm \sqrt{1}$$ $$\alpha = 1, \quad \alpha = -1$$ Por tanto, la matriz no tiene inversa cuando el parámetro toma los valores $1$ o $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz no tiene inversa para } \alpha = 1 \text{ y } \alpha = -1}$$

**b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para $\alpha = 0$, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.** Primero, comprobamos si el determinante para $\alpha = 0$ es distinto de cero. Sustituimos en la expresión obtenida anteriormente: $$|M(0)| = 1 - 0^2 = 1$$ Como $|M(0)| = 1 \neq 0$, la matriz **sí tiene inversa**. La matriz $M(0)$ es: $$M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $1 \neq 0$, procedemos con el cálculo.

Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(M(0))$ calculando el menor complementario de cada elemento y aplicando el signo correspondiente $(-1)^{i+j}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$Adj(M(0)) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La fórmula para la matriz inversa es: $$M(0)^{-1} = \frac{1}{|M(0)|} \cdot [Adj(M(0))]^T$$ Primero trasponemos la matriz adjunta: $$[Adj(M(0))]^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|M(0)| = 1$, la inversa coincide con la traspuesta de la adjunta: $$M(0)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M(0)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$