Discusión y resolución de un sistema con un parámetro

**Discutir el sistema $S(a)$ en función de $a$, siendo $S(a) = \begin{cases} ax - y + 2z = 2 \\ x - 2y - z = 1 \\ x + 2y + az = 3. \end{cases}$** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 3 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = [a(-2)(a) + (-1)(-1)(1) + 2(1)(2)] - [2(-2)(1) + (-1)(1)(a) + a(2)(-1)]$$ $$|A| = (-2a^2 + 1 + 4) - (-4 - a - 2a) = -2a^2 + 5 - (-4 - 3a)$$ $$|A| = -2a^2 + 3a + 9$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado. Si los rangos son iguales pero menores que $n$, es compatible indeterminado. Si son distintos, es incompatible.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$-2a^2 + 3a + 9 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(9)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{-4} = \frac{-3 \pm 9}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $a_1 = \dfrac{-3 + 9}{-4} = \dfrac{6}{-4} = -\dfrac{3}{2}$ 2. $a_2 = \dfrac{-3 - 9}{-4} = \dfrac{-12}{-4} = 3$ Estos valores dividen nuestra discusión en tres casos. $$\boxed{a = -\frac{3}{2}, \quad a = 3}$$

Si $a \neq 3$ y $a \neq -3/2$, entonces el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{3, -3/2\}, S(a) \text{ es SCD}}$$

Si $a = 3$, el determinante $|A| = 0$. La matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Como el menor $\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6 + 1 = -5 \neq 0$, tenemos que $\text{rg}(A) = 2$. Analizamos el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = [-18 - 1 + 4] - [-4 + 6 - 3] = -15 - (-1) = -14 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 3, S(a) \text{ es SI}}$$

Si $a = -3/2$, el determinante $|A| = 0$. La matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -3/2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -3/2 \end{pmatrix}$$ Tomamos el menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Analizamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 2 & -3/2 & 3 \end{vmatrix} = [3 + 4 + 6] - [-4 - 12 + 1.5] = 13 - (-14.5) = 27.5 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -3/2, S(a) \text{ es SI}}$$

**Resolver en función de $a$, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.** El sistema es resoluble mediante Cramer cuando es un SCD, es decir, cuando $a \in \mathbb{R} \setminus \{3, -3/2\}$. El determinante general es $|A| = -2a^2 + 3a + 9$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} = (-4a + 3 + 4) - (-12 - 4 - a) = -4a + 7 + 16 + a = -3a + 23$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} a & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & a \end{vmatrix} = (a^2 - 2 + 6) - (2 - 3a + 2a) = a^2 + 4 - 2 + a = a^2 + a + 2$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} a & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (-6a - 1 + 4) - (-4 + 2a - 3) = -6a + 3 + 7 - 2a = -8a + 10$$ 💡 **Tip:** En el método de Cramer, cada incógnita se halla como $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$, donde $|A_i|$ es el determinante de la matriz resultante de sustituir la columna $i$ por la de términos independientes.

Aplicamos las fórmulas de Cramer: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-3a + 23}{-2a^2 + 3a + 9}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{a^2 + a + 2}{-2a^2 + 3a + 9}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-8a + 10}{-2a^2 + 3a + 9}$$ Podemos expresar el denominador factorizado si se prefiere: $-2(a-3)(a+3/2) = -(a-3)(2a+3)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{23 - 3a}{-2a^2 + 3a + 9}, \quad y = \frac{a^2 + a + 2}{-2a^2 + 3a + 9}, \quad z = \frac{10 - 8a}{-2a^2 + 3a + 9}}$$