Intersección de funciones y cálculo de áreas

Para trabajar con la función $g(x) = |x^2 - x|$, primero debemos expresarla como una función definida a trozos. Estudiamos el signo de la expresión interior $x^2 - x = x(x-1)$. Los puntos de corte con el eje X son $x=0$ y $x=1$. Analizando el signo en los intervalos: - Si $x < 0$, $x^2 - x > 0$. - Si $0 \le x \le 1$, $x^2 - x \le 0$. - Si $x > 1$, $x^2 - x > 0$. Por tanto: $$g(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{si } x < 0, \\ -(x^2 - x) = x - x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1, \\ x^2 - x & \text{si } x > 1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|A| = A$ si $A \ge 0$ y $|A| = -A$ si $A < 0$.

Buscamos los puntos de intersección igualando $f(x) = g(x)$. Probamos con los valores críticos del valor absoluto encontrados en el paso anterior: Para $x = 0$: $$f(0) = \sin(0) = 0$$ $$g(0) = |0^2 - 0| = 0$$ El primer punto de corte es **$(0, 0)$**. Para $x = 1$: $$f(1) = \sin(\pi) = 0$$ $$g(1) = |1^2 - 1| = 0$$ El segundo punto de corte es **$(1, 0)$**. El enunciado indica que existen dos puntos de corte, por lo que hemos encontrado ambos. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0,0) \text{ y } (1,0)}$$

Para calcular el área encerrada entre $x=0$ y $x=1$, debemos saber qué función está por encima. Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0.5$: $$f(0.5) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$ $$g(0.5) = |0.5^2 - 0.5| = |0.25 - 0.5| = 0.25$$ Como $f(0.5) > g(0.5)$, en el intervalo $(0, 1)$ la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$. La región de integración es: $$\int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (\sin(\pi x) - (x - x^2)) \, dx$$

Calculamos la integral definida: $$Area = \int_{0}^{1} (\sin(\pi x) - x + x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva de cada término: - $\int \sin(\pi x) \, dx = -\dfrac{\cos(\pi x)}{\pi}$ - $\int -x \, dx = -\dfrac{x^2}{2}$ - $\int x^2 \, dx = \dfrac{x^3}{3}$ 💡 **Tip:** No olvides que al integrar $\sin(ax)$ el resultado es $-\frac{1}{a}\cos(ax)$. Aplicamos la Regla de Barrow: $$Area = \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: Para $x=1$: $$\left(-\frac{\cos(\pi)}{\pi} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{-1}{\pi} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{\pi} - \frac{1}{6}$$ Para $x=0$: $$\left(-\frac{\cos(0)}{\pi} - 0 + 0\right) = -\frac{1}{\pi}$$ Restamos ambos valores: $$Area = \left( \frac{1}{\pi} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{1}{\pi} \right) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} - \frac{1}{6} = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{6}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \left( \frac{2}{\pi} - \frac{1}{6} \right) \text{ u}^2 \approx 0.470 \text{ u}^2}$$