Continuidad y Teorema del Valor Medio

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-1, 0]$. (1 punto)** Para demostrar que $f(x) = (x + 3)^{\sin(\pi x)} \ln(x^2 - x + 2)$ es continua en $[-1, 0]$, analizamos cada una de las funciones elementales que la componen: 1. **La base de la potencia $(x + 3)$:** Es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. En el intervalo $[-1, 0]$, el valor de $x+3$ oscila entre $2$ y $3$, por lo que siempre es estrictamente positivo ($x+3 > 0$). 2. **El exponente $\sin(\pi x)$:** Es una función trigonométrica continua en todo $\mathbb{R}$. 3. **El argumento del logaritmo $(x^2 - x + 2)$:** Es un polinomio continuo. Analicemos si es siempre positivo en el intervalo dado: - El discriminante de $x^2 - x + 2 = 0$ es $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$. - Al ser $\Delta \lt 0$ y el coeficiente principal positivo ($1 \gt 0$), la parábola no corta el eje $X$ y siempre es positiva. Como la función es composición, producto y potencia de funciones continuas en el intervalo $[-1, 0]$ y sus dominios se respetan (base de la potencia positiva y argumento del logaritmo positivo), concluimos que: $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [-1, 0]}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función del tipo $u(x)^{v(x)}$ sea continua, necesitamos que $u(x)$ y $v(x)$ sean continuas y que $u(x) > 0$.

**b) Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 0)$ tal que $f'(\alpha) = -\ln 2$. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso. (1.5 puntos)** La pregunta nos pide demostrar la existencia de un valor de la derivada en un punto de un intervalo abierto. Esto sugiere el uso del **Teorema del Valor Medio (también conocido como Teorema de Lagrange)**. **Enunciado del Teorema del Valor Medio:** Si una función $g(x)$ es: 1. Continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces existe, al menos, un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$g'(\alpha) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, este teorema dice que existe un punto donde la recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.

Para aplicar el teorema a $f(x)$ en el intervalo $[-1, 0]$: 1. **Continuidad:** Ya se demostró en el apartado (a) que $f(x)$ es continua en $[-1, 0]$. 2. **Derivabilidad:** $f(x)$ es derivable en $(-1, 0)$ por ser combinación de funciones derivables en sus dominios (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y potencias de base positiva). Calculamos ahora los valores de la función en los extremos del intervalo: - Para $x = -1$: $$f(-1) = (-1 + 3)^{\sin(-\pi)} \ln((-1)^2 - (-1) + 2) = 2^0 \ln(1 + 1 + 2) = 1 \cdot \ln 4$$ Como $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$: $$f(-1) = 2 \ln 2$$ - Para $x = 0$: $$f(0) = (0 + 3)^{\sin(0)} \ln(0^2 - 0 + 2) = 3^0 \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda las propiedades de los logaritmos: $\ln(a^n) = n \ln a$. Y que cualquier número (distinto de cero) elevado a 0 es 1.

Aplicamos la fórmula del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[-1, 0]$: $$\frac{f(0) - f(-1)}{0 - (-1)} = \frac{\ln 2 - 2\ln 2}{1} = \frac{-\ln 2}{1} = -\ln 2$$ Como se cumplen las hipótesis del teorema, garantizamos que existe al menos un $\alpha \in (-1, 0)$ tal que: $$f'(\alpha) = -\ln 2$$ Esto demuestra lo solicitado en el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (-1, 0) \mid f'(\alpha) = -\ln 2 \text{ por el Teorema del Valor Medio.}}$$