Vértices de un cuadrado y una recta

Para determinar si los puntos $A$ y $B$ son vértices adyacentes (un lado) o vértices opuestos (una diagonal), analizamos el vector que los une y la dirección de la recta $r$ donde se encuentran los otros dos vértices $C$ y $D$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-1), 5 - 2, 1 - 1) = (3, 3, 0)$$ Extraemos el vector director de la recta $r$, $\vec{v_r} = (-1, 1, -4)$. Si $A$ y $B$ fueran vértices adyacentes, el lado $AB$ debería ser paralelo al lado $CD$ (que está sobre $r$), o bien perpendicular. Comprobamos su producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{v_r} = (3)(-1) + (3)(1) + (0)(-4) = -3 + 3 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es $0$, los vectores son **perpendiculares**. En un cuadrado, si los puntos $A$ y $B$ definen un lado perpendicular a la recta $r$, entonces uno de ellos debería pertenecer a la recta $r$. Comprobamos si $A$ o $B$ están en $r$: - Para $A(-1, 2, 1)$: $\frac{-1}{-1} = 1$; $\frac{2-4}{1} = -2$. Como $1 \neq -2$, $A \notin r$. - Para $B(2, 5, 1)$: $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{5-4}{1} = 1$. Como $-2 \neq 1$, $B \notin r$. **Conclusión:** Al ser $\vec{AB} \perp \vec{v_r}$ y no estar los puntos en la recta, la única posibilidad es que $AB$ sea una **diagonal** del cuadrado y la recta $r$ contenga a la otra diagonal $CD$. 💡 **Tip:** En un cuadrado, las diagonales son perpendiculares, tienen la misma longitud y se cortan en su punto medio.

Si $AB$ es una diagonal, el centro del cuadrado $M$ es el punto medio del segmento $AB$. Además, $M$ debe pertenecer a la recta $r$ (ya que las diagonales se bisecan). Calculamos $M$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{-1 + 2}{2}, \frac{2 + 5}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (0.5, 3.5, 1)$$ Comprobamos que $M$ pertenece a $r$ sustituyendo en su ecuación: $$\frac{0.5}{-1} = -0.5, \quad \frac{3.5 - 4}{1} = -0.5, \quad \frac{1 + 1}{-4} = \frac{2}{-4} = -0.5$$ Como los tres valores coinciden, el centro del cuadrado es efectivamente **$M(0.5, 3.5, 1)$**. $$\boxed{M = (0.5, 3.5, 1)}$$

En un cuadrado, las dos diagonales miden lo mismo. Por tanto, la distancia del centro $M$ a los vértices $C$ y $D$ es la misma que la distancia de $M$ a $A$ (o a $B$). Calculamos el vector $\vec{MA}$: $$\vec{MA} = A - M = (-1 - 0.5, 2 - 3.5, 1 - 1) = (-1.5, -1.5, 0)$$ La distancia al cuadrado (radio de la circunferencia circunscrita) es: $$d^2 = |\vec{MA}|^2 = (-1.5)^2 + (-1.5)^2 + 0^2 = 2.25 + 2.25 = 4.5$$ Los puntos $C$ y $D$ buscados están en la recta $r$ y su distancia a $M$ debe ser $\sqrt{4.5}$. 💡 **Tip:** También podemos observar que el vector director $\vec{v_r} = (-1, 1, -4)$ tiene un módulo de $|\vec{v_r}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{18}$. Como la diagonal completa $AB$ mide $\sqrt{(3)^2+(3)^2} = \sqrt{18}$, la distancia desde el centro a los extremos es exactamente la mitad del vector director si este mide lo mismo que la diagonal.

Expresamos los puntos de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 4 + \lambda \\ z = -1 - 4\lambda \end{cases}$$ Sabemos que el punto $M(0.5, 3.5, 1)$ corresponde a $\lambda = -0.5$ (pues $0.5 = -\lambda$). Como el vector director $\vec{v_r} = (-1, 1, -4)$ tiene el mismo módulo que la diagonal $AB$ ($|\vec{v_r}| = \sqrt{18}$ y $|\vec{AB}| = \sqrt{18}$), los vértices $C$ y $D$ se encuentran sumando y restando medio vector director al centro $M$: $$C = M + \frac{1}{2}\vec{v_r} = (0.5, 3.5, 1) + \frac{1}{2}(-1, 1, -4)$$ $$C = (0.5, 3.5, 1) + (-0.5, 0.5, -2) = (0, 4, -1)$$ $$D = M - \frac{1}{2}\vec{v_r} = (0.5, 3.5, 1) - (-0.5, 0.5, -2)$$ $$D = (1, 3, 3)$$ Verificamos que $C$ y $D$ están en $r$: - Para $C(0, 4, -1)$: $0/-1 = 0$, $(4-4)/1 = 0$, $(-1+1)/-4 = 0$. (Correcto) - Para $D(1, 3, 3)$: $1/-1 = -1$, $(3-4)/1 = -1$, $(3+1)/-4 = -1$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C(0, 4, -1) \quad \text{y} \quad D(1, 3, 3)}$$