Cálculo del determinante de una matriz compuesta

**Calcula $|C|$ teniendo en cuenta que la matriz $C = (2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2$.** Para hallar el determinante de $C$, denotado por $|C|$, primero aplicamos la propiedad que nos dice que el determinante de una potencia es igual a la potencia del determinante: $$|C| = |(2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2| = |2 \cdot A^t \cdot B^{-1}|^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier matriz cuadrada $M$ y cualquier número natural $k$, se cumple que $|M^k| = |M|^k$.

Ahora analizamos el interior del paréntesis: $|2 \cdot (A^t \cdot B^{-1})|$. Aplicamos la propiedad del determinante de una constante por una matriz. Como las matrices $A$ y $B$ son de tamaño $3 \times 3$, su producto y traspuestas también son de tamaño $3 \times 3$. Al multiplicar una matriz de orden $n$ por un escalar $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$: $$|2 \cdot (A^t \cdot B^{-1})| = 2^3 \cdot |A^t \cdot B^{-1}| = 8 \cdot |A^t \cdot B^{-1}|$$ 💡 **Tip:** No olvides que $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz. Un error común es olvidar elevar la constante al orden de la matriz.

Descomponemos el determinante del producto $|A^t \cdot B^{-1}|$ utilizando las siguientes propiedades: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de la traspuesta es igual al determinante de la matriz original: $|M^t| = |M|$. 3. El determinante de la inversa es el recíproco del determinante: $|M^{-1}| = \dfrac{1}{|M|}$. Sustituyendo estas propiedades: $$|A^t \cdot B^{-1}| = |A^t| \cdot |B^{-1}| = |A| \cdot \frac{1}{|B|}$$ Como el enunciado nos da $|A| = \frac{1}{2}$ y $|B| = \frac{1}{2}$: $$|A^t \cdot B^{-1}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$

Retomamos la expresión obtenida en los pasos anteriores para calcular el valor final de $|C|$: Sabemos que: $$|2 \cdot A^t \cdot B^{-1}| = 8 \cdot |A^t \cdot B^{-1}| = 8 \cdot 1 = 8$$ Finalmente, elevamos al cuadrado según la expresión original: $$|C| = (8)^2 = 64$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|C| = 64}$$