Continuidad y Teorema de Bolzano en derivadas

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 2]$. (0.75 puntos)** La función dada es del tipo $f(x) = g(x)^{h(x)}$, donde: - $g(x) = 1 + \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ - $h(x) = x$ Para que una función potencial-exponencial sea continua, la base $g(x)$ debe ser continua y positiva ($g(x) > 0$), y el exponente $h(x)$ debe ser continuo. 1. **Continuidad de las funciones elementales**: - $h(x) = x$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. - $g(x) = 1 + \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ es la suma de una constante y una composición de funciones continuas (seno y lineal), por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$. 2. **Signo de la base en el intervalo $[1, 2]$**: Si $1 \le x \le 2$, entonces el argumento del seno varía en: $$\frac{\pi \cdot 1}{2} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi \cdot 2}{2} \implies \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi x}{2} \le \pi$$ En el intervalo $[\pi/2, \pi]$ (segundo cuadrante), la función seno toma valores entre $0$ y $1$. Por tanto: $$0 \le \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \le 1 \implies 1 \le 1 + \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \le 2$$ Como $g(x) \ge 1$ para todo $x \in [1, 2]$, la base es siempre positiva. Al ser composición, suma y potencia de funciones continuas con base positiva, $f(x)$ es continua en $[1, 2]$. 💡 **Tip:** Recuerda que $f(x) = g(x)^{h(x)}$ se puede escribir como $f(x) = e^{h(x) \ln(g(x))}$, lo que exige que $g(x) > 0$ para que el logaritmo exista. $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [1, 2]}$$

**b) Demuestra que existe $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso. (1.75 puntos)** Para demostrar que la derivada se anula en algún punto del intervalo, utilizaremos el **Teorema de Bolzano** aplicado a la función $f'(x)$. **Enunciado del Teorema de Bolzano:** Si una función $h(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en sus extremos ($h(a) \cdot h(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que $h(\alpha) = 0$. En este caso, queremos probar que existe $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Para ello debemos: 1. Calcular la expresión de $f'(x)$. 2. Justificar que $f'(x)$ es continua en $[1, 2]$. 3. Comprobar que $f'(1)$ y $f'(2)$ tienen signos distintos. 💡 **Tip:** Aunque el enunciado recuerda al Teorema de Rolle, si calculamos $f(1) = 2^1 = 2$ y $f(2) = 1^2 = 1$, vemos que $f(1) \neq f(2)$, por lo que Rolle no es aplicable directamente a $f(x)$. Usaremos Bolzano sobre $f'(x)$.

Para derivar $f(x) = \left(1 + \sin \frac{\pi x}{2}\right)^x$, utilizamos derivación logarítmica: $$\ln(f(x)) = x \cdot \ln\left(1 + \sin \frac{\pi x}{2}\right)$$ Derivamos ambos lados respecto a $x$: $$\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \cdot \ln\left(1 + \sin \frac{\pi x}{2}\right) + x \cdot \frac{\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2}}{1 + \sin \frac{\pi x}{2}}$$ Despejamos $f'(x)$: $$f'(x) = f(x) \left[ \ln\left(1 + \sin \frac{\pi x}{2}\right) + \frac{\pi x \cos \frac{\pi x}{2}}{2 \left(1 + \sin \frac{\pi x}{2}\right)} \right]$$ **Justificación de la continuidad de $f'(x)$:** $f'(x)$ es continua en $[1, 2]$ porque es una combinación (suma, producto, cociente y composición) de funciones continuas (polinomios, trigonométricas, logaritmo y exponencial), donde el denominador $2(1 + \sin\frac{\pi x}{2})$ no se anula en dicho intervalo (vimos en el apartado anterior que la base es $\ge 1$).

Evaluamos el signo de la derivada en los extremos del intervalo $(1, 2)$: Para $x = 1$: $$f'(1) = f(1) \left[ \ln\left(1 + \sin \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi \cos \frac{\pi}{2}}{2(1 + \sin \frac{\pi}{2})} \right]$$ Como $\sin(\pi/2) = 1$ y $\cos(\pi/2) = 0$: $$f'(1) = 2 \left[ \ln(2) + \frac{0}{2(2)} \right] = 2 \ln(2)$$ Dado que $\ln(2) > 0$, entonces **$f'(1) > 0$**. Para $x = 2$: $$f'(2) = f(2) \left[ \ln\left(1 + \sin \pi\right) + \frac{2\pi \cos \pi}{2(1 + \sin \pi)} \right]$$ Como $\sin(\pi) = 0$ y $\cos(\pi) = -1$: $$f'(2) = 1^2 \left[ \ln(1) + \frac{2\pi(-1)}{2(1+0)} \right] = 1 [ 0 - \pi ] = -\pi$$ Dado que $-\pi < 0$, entonces **$f'(2) < 0$**. Como $f'(x)$ es continua en $[1, 2]$ y $f'(1) > 0$ mientras que $f'(2) < 0$, por el **Teorema de Bolzano**: $$\exists \alpha \in (1, 2) \text{ tal que } f'(\alpha) = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Queda demostrado por el Teorema de Bolzano que } \exists \alpha \in (1, 2) / f'(\alpha) = 0}$$