Cálculo de límites: Indeterminaciones 1^infinito e infinito-infinito

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to 1} \left(2 + \sin \frac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2 - x}}$** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$ en la expresión: - Base: $2 + \sin\left(\frac{3\pi \cdot 1}{2}\right) = 2 + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 + (-1) = 1$. - Exponente: $\frac{1}{1^2 - 1} = \frac{1}{0} = \infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites de la forma $\lim f(x)^{g(x)}$ que resultan en $1^{\infty}$, podemos utilizar la propiedad: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} (f(x) - 1) \cdot g(x)}$$

Aplicamos la fórmula anterior y calculamos el límite del exponente, al que llamaremos $L_1$: $$L_1 = \lim_{x \to 1} \left(2 + \sin \frac{3\pi x}{2} - 1\right) \cdot \frac{1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{1 + \sin \frac{3\pi x}{2}}{x^2 - x}$$ Al evaluar $x=1$ de nuevo, obtenemos $\frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}\left(1 + \sin \frac{3\pi x}{2}\right)}{\frac{d}{dx}(x^2 - x)} = \lim_{x \to 1} \frac{\cos\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \cdot \frac{3\pi}{2}}{2x - 1}$$ Sustituimos $x = 1$: $$L_1 = \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \frac{3\pi}{2}}{2(1) - 1} = \frac{0 \cdot \frac{3\pi}{2}}{1} = 0$$ Finalmente, el resultado del límite original es $e^{L_1}$: $$\lim_{x \to 1} \left(2 + \sin \frac{3\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x^2 - x}} = e^0 = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{1}$$

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^4 - x^2 + 1} - \sqrt{x^4 - 7})$** Evaluamos el comportamiento cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^4 - x^2 + 1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^4 - 7} = \infty$$ Se presenta una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites de raíces con la indeterminación $\infty - \infty$, el método más habitual es multiplicar y dividir por la expresión conjugada: $(\sqrt{A} - \sqrt{B}) \cdot \frac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^4 - x^2 + 1} - \sqrt{x^4 - 7})(\sqrt{x^4 - x^2 + 1} + \sqrt{x^4 - 7})}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1} + \sqrt{x^4 - 7}}$$ En el numerador aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x^4 - x^2 + 1) - (x^4 - 7)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1} + \sqrt{x^4 - 7}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2 + 8}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1} + \sqrt{x^4 - 7}}$$

Para resolver este límite al infinito, dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ del denominador. Dado que tenemos $\sqrt{x^4}$, la potencia efectiva es $x^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-x^2}{x^2} + \frac{8}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} + \frac{1}{x^4}} + \sqrt{\frac{x^4}{x^4} - \frac{7}{x^4}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1 + \frac{8}{x^2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}} + \sqrt{1 - \frac{7}{x^4}}}$$ Como $\lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x^n} = 0$, la expresión queda: $$\frac{-1 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{-\dfrac{1}{2}}$$