Ecuación de la recta con condiciones de intersección y paralelismo

Para determinar la recta $r$ necesitamos un punto y un vector director. El enunciado nos da el punto $P = (-1, 3, 1)$. El vector director $\vec{v_r}$ debe cumplir dos condiciones: 1. **Paralelismo con el plano:** Si $r$ es paralela al plano $\pi$, entonces su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. 2. **Intersección con la recta $s$:** Si $r$ corta a $s$, existe un punto común $Q$ tal que el vector $\vec{PQ}$ es proporcional al vector director de la recta $r$. Identificamos el vector normal del plano $\pi \equiv 2x - y + 3z - 6 = 0$: $$\vec{n_\pi} = (2, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director y el vector normal del plano son perpendiculares, por lo que su producto escalar es cero: $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$.

Para trabajar con el punto genérico de la recta $s$, transformamos su ecuación implícita a paramétrica. Sistema de ecuaciones de $s$: $$\begin{cases} 3x + y - z - 7 = 0 \\ x + y = 5 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $y$ en función de $x$: $$y = 5 - x$$ Sustituimos en la primera para despejar $z$: $$3x + (5 - x) - z - 7 = 0 \implies 2x - z - 2 = 0 \implies z = 2x - 2$$ Tomando $x = \lambda$ como parámetro, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $s$: $$s \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 5 - \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$ Por tanto, cualquier punto $Q$ que pertenezca a $s$ tiene la forma: $$\boxed{Q = (\lambda, 5 - \lambda, -2 + 2\lambda)}$$

Como la recta $r$ pasa por $P(-1, 3, 1)$ y corta a $s$ en un punto $Q$, su vector director $\vec{v_r}$ tendrá la misma dirección que el vector $\vec{PQ}$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$ en función de $\lambda$: $$\vec{PQ} = Q - P = (\lambda - (-1), (5 - \lambda) - 3, (-2 + 2\lambda) - 1)$$ $$\vec{PQ} = (\lambda + 1, 2 - \lambda, 2\lambda - 3)$$ Este vector debe ser el vector director de nuestra recta $r$.

La recta $r$ es paralela al plano $\pi$, por lo que el vector $\vec{PQ}$ debe ser perpendicular al vector normal $\vec{n_\pi} = (2, -1, 3)$. El producto escalar debe ser nulo: $$\vec{PQ} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ $$((\lambda + 1), (2 - \lambda), (2\lambda - 3)) \cdot (2, -1, 3) = 0$$ Operamos: $$2(\lambda + 1) - 1(2 - \lambda) + 3(2\lambda - 3) = 0$$ $$2\lambda + 2 - 2 + \lambda + 6\lambda - 9 = 0$$ $$9\lambda - 9 = 0 \implies 9\lambda = 9 \implies \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(u_1, u_2, u_3) \cdot (v_1, v_2, v_3) = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.

Sustituimos $\lambda = 1$ en la expresión del vector $\vec{PQ}$ para obtener el vector director de $r$: $$\vec{v_r} = (1 + 1, 2 - 1, 2(1) - 3)$$ $$\vec{v_r} = (2, 1, -1)$$ Ya tenemos el punto $P(-1, 3, 1)$ y el vector director $\vec{v_r} = (2, 1, -1)$.

La ecuación continua de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector director $(v_x, v_y, v_z)$ es: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo nuestros datos: $$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{-1}$$ Simplificando los signos: $$\boxed{r \equiv \frac{x + 1}{2} = y - 3 = \frac{z - 1}{-1}}$$