Discusión y resolución de un sistema con parámetro real

**Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a+1 & a^2+a & 0 \\ -(a+1) & -a^2 & 0 \\ 0 & a & a^2-1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a+1 & a^2+a & 0 & 2 \\ -(a+1) & -a^2 & 0 & 0 \\ 0 & a & a^2-1 & 3-a \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, que establece: - Si $rang(A) = rang(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - Si $rang(A) = rang(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $rang(A) \neq rang(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezaremos calculando el determinante de $A$ para ver cuándo el rango es máximo (3).

Calculamos $|A|$ desarrollando por la tercera columna, ya que tiene dos ceros: $$|A| = (a^2 - 1) \cdot \begin{vmatrix} a+1 & a^2+a \\ -(a+1) & -a^2 \end{vmatrix}$$ Sacamos factor común $(a+1)$ de la primera columna y de la segunda columna (o simplemente operamos): $$|A| = (a^2 - 1) \left[ (a+1)(-a^2) - (-(a+1))(a^2+a) \right]$$ $$|A| = (a^2 - 1) \left[ -a^2(a+1) + (a+1)(a^2+a) \right]$$ $$|A| = (a^2 - 1)(a+1) \left[ -a^2 + a^2 + a \right]$$ $$|A| = a(a+1)(a^2-1) = a(a+1)(a+1)(a-1) = a(a+1)^2(a-1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a(a+1)^2(a-1) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a = -1 \\ a = 1 \end{cases}$$ $$\boxed{|A| = a(a+1)^2(a-1)}$$

Analizamos los rangos según los valores de $a$: **Caso 1: $a \notin \{0, -1, 1\}$** En este caso, $|A| \neq 0 \implies rang(A) = 3 = rang(A^*) = n$. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right)$$ Si sumamos la fila 1 y la fila 2 ($F_2 + F_1 \to F_2$): $0 + 0 + 0 = 2$, lo cual es imposible. $rang(A) = 2$ (por el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$) y $rang(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \end{array}\right)$$ La primera fila indica $0 = 2$, imposible. $rang(A) = 1$ y $rang(A^*) = 2$. El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = 1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la columna de la $z$ es nula. Calculamos el rango de $A$ usando un menor $2\times2$: $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 4 = 2 \neq 0 \implies rang(A)=2$. Para $A^*$, comprobamos el menor formado por col 1, col 2 y col 4: $\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-4+0-4) - (0+0-8) = -8+8 = 0$. Por tanto, $rang(A) = rang(A^*) = 2 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Para $a \notin \{0, -1, 1\}$, resolvemos el sistema: 1) De la segunda ecuación: $-(a+1)x - a^2y = 0 \implies (a+1)x = -a^2y$. 2) Sustituimos en la primera: $(a+1)x + a(a+1)y = 2 \implies -a^2y + (a^2+a)y = 2 \implies ay = 2$. $$y = \frac{2}{a}$$ 3) Hallamos $x$: $(a+1)x = -a^2\left(\frac{2}{a}\right) = -2a \implies x = \frac{-2a}{a+1}$. 4) Hallamos $z$ de la tercera ecuación: $ay + (a^2-1)z = 3-a$ $$a\left(\frac{2}{a}\right) + (a^2-1)z = 3-a \implies 2 + (a^2-1)z = 3-a$$ $$(a^2-1)z = 1-a \implies (a-1)(a+1)z = -(a-1) \implies z = \frac{-(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{-1}{a+1}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{-2a}{a+1}, \quad y = \frac{2}{a}, \quad z = \frac{-1}{a+1}}$$

Si $a = 1$, el sistema queda reducido (usando las dos primeras ecuaciones independientes): $$\begin{cases} 2x + 2y = 2 \implies x + y = 1 \\ -2x - y = 0 \implies y = -2x \end{cases}$$ Sustituyendo $y$ en la primera: $x - 2x = 1 \implies -x = 1 \implies x = -1$. Entonces $y = -2(-1) = 2$. La variable $z$ no aparece en ninguna ecuación con coeficiente distinto de cero (en la tercera ecuación $1y + 0z = 2 \implies 2=2$), por lo que puede tomar cualquier valor real. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$