Intersección de funciones y cálculo de áreas

Para encontrar los puntos de corte, igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. Antes de operar, observamos el dominio de las funciones. La función $f(x)$ es polinómica (dominio $\mathbb{R}$), pero $g(x)$ contiene una raíz cuadrada, por lo que su dominio es: $$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$$ Planteamos la ecuación de intersección: $$\frac{x}{2} + 1 = \sqrt{x - 2} + 2$$ Restamos 1 en ambos lados: $$\frac{x}{2} - 1 = \sqrt{x - 2}$$ Multiplicamos por 2 para eliminar la fracción: $$\frac{x - 2}{2} = \sqrt{x - 2}$$ Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz: $$\left(\frac{x - 2}{2}\right)^2 = (\sqrt{x - 2})^2 \implies \frac{(x - 2)^2}{4} = x - 2$$ $$(x - 2)^2 = 4(x - 2) \implies (x - 2)^2 - 4(x - 2) = 0$$ Factorizamos $(x - 2)$: $$(x - 2)(x - 2 - 4) = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0$$ Las soluciones son **$x = 2$** y **$x = 6$**. Calculamos las ordenadas: - Si $x = 2 \implies f(2) = \frac{2}{2} + 1 = 2$. Punto: **$(2, 2)$** - Si $x = 6 \implies f(6) = \frac{6}{2} + 1 = 4$. Punto: **$(6, 4)$** 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado en una ecuación irracional, siempre conviene comprobar que las soluciones obtenidas no son falsas. Aquí, ambas cumplen $x \ge 2$ y satisfacen la igualdad original. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{P_1(2, 2), \quad P_2(6, 4)}$$

Para calcular el área encerrada, necesitamos saber qué función queda por encima de la otra en el intervalo $(2, 6)$. Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 3$: - $f(3) = \frac{3}{2} + 1 = 2.5$ - $g(3) = \sqrt{3 - 2} + 2 = 1 + 2 = 3$ Como $g(3) \gt f(3)$, la función $g(x)$ es la función superior y $f(x)$ la inferior en el intervalo considerado. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{2}^{6} (g(x) - f(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula siempre restando la función superior menos la inferior para asegurar un resultado positivo.

Sustituimos las expresiones de las funciones: $$A = \int_{2}^{6} \left[ (\sqrt{x - 2} + 2) - \left( \frac{x}{2} + 1 \right) \right] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{2}^{6} \left( (x - 2)^{1/2} + 1 - \frac{x}{2} \right) \, dx$$ Calculamos la primitiva término a término: 1. $\int (x - 2)^{1/2} \, dx = \frac{(x - 2)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\sqrt{(x - 2)^3}$ 2. $\int 1 \, dx = x$ 3. $\int -\frac{x}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{4}$ La primitiva es $F(x) = \frac{2}{3}(x - 2)\sqrt{x - 2} + x - \frac{x^2}{4}$. Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \frac{2}{3}(x - 2)\sqrt{x - 2} + x - \frac{x^2}{4} \right]_{2}^{6}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 6$): $$F(6) = \frac{2}{3}(4)\sqrt{4} + 6 - \frac{36}{4} = \frac{16}{3} + 6 - 9 = \frac{16}{3} - 3 = \frac{16 - 9}{3} = \frac{7}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 2$): $$F(2) = \frac{2}{3}(0) + 2 - \frac{4}{4} = 0 + 2 - 1 = 1$$ Calculamos la diferencia: $$A = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \text{ u}^2 \approx 1.33 \text{ u}^2}$$