Extremos absolutos de una función trascendente

**Calcula los extremos absolutos de la función $f(x) = e^{\pi x} \cdot \sin \pi x$ en el intervalo $[\frac{1}{2}, 2]$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.** Para garantizar la existencia de extremos absolutos en un intervalo cerrado, recurrimos al **Teorema de Weierstrass**. 1. **Continuidad**: La función $f(x) = e^{\pi x} \cdot \sin \pi x$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser el producto de una función exponencial y una función trigonométrica, ambas continuas. En particular, es continua en el intervalo cerrado $[\frac{1}{2}, 2]$. 2. **Enunciado del teorema**: El Teorema de Weierstrass establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces alcanza su máximo y su mínimo absolutos en dicho intervalo. Estos extremos pueden localizarse en: - Los **extremos del intervalo**: $x = \frac{1}{2}$ y $x = 2$. - Los **puntos críticos** (donde $f'(x) = 0$) que pertenezcan al intervalo abierto $(\frac{1}{2}, 2)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar Weierstrass la clave es que el intervalo sea **cerrado** y la función **continua**.

Calculamos la derivada de $f(x) = e^{\pi x} \sin(\pi x)$ utilizando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (e^{\pi x})' \cdot \sin(\pi x) + e^{\pi x} \cdot (\sin \pi x)'$$ Aplicando la regla de la cadena: - $(e^{\pi x})' = \pi e^{\pi x}$ - $(\sin \pi x)' = \pi \cos(\pi x)$ Sustituyendo: $$f'(x) = \pi e^{\pi x} \sin(\pi x) + e^{\pi x} \pi \cos(\pi x)$$ Factorizamos el término común $\pi e^{\pi x}$: $$f'(x) = \pi e^{\pi x} (\sin \pi x + \cos \pi x)$$ $$\boxed{f'(x) = \pi e^{\pi x} (\sin \pi x + \cos \pi x)}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\pi e^{\pi x} (\sin \pi x + \cos \pi x) = 0$$ Como la función exponencial $e^{\pi x}$ nunca es cero para valores reales, la igualdad depende del paréntesis: $$\sin \pi x + \cos \pi x = 0 \implies \sin \pi x = -\cos \pi x$$ Dividiendo por $\cos \pi x$ (que no es cero donde el seno es cero): $$\tan \pi x = -1$$ La función tangente vale $-1$ en los ángulos del segundo y cuarto cuadrante: $$\pi x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Dividiendo entre $\pi$, obtenemos los posibles valores de $x$: $$x = \frac{3}{4} + k$$ Evaluamos cuáles caen dentro del intervalo $(\frac{1}{2}, 2)$: - Si $k=0 \implies x_1 = \frac{3}{4} = 0.75 \in (0.5, 2)$ - Si $k=1 \implies x_2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} = 1.75 \in (0.5, 2)$ - Si $k=2 \implies x_3 = 2.75 \notin (0.5, 2)$ Los puntos críticos a considerar son $x = \frac{3}{4}$ y $x = \frac{7}{4}$.

Evaluamos la función original $f(x) = e^{\pi x} \sin \pi x$ en los extremos del intervalo y en los puntos críticos hallados: 1. **Extremo izquierdo**: $f(\frac{1}{2}) = e^{\pi/2} \sin(\frac{\pi}{2}) = e^{\pi/2} \cdot 1 = e^{\pi/2} \approx 4.81$ 2. **Punto crítico 1**: $f(\frac{3}{4}) = e^{3\pi/4} \sin(\frac{3\pi}{4}) = e^{3\pi/4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 10.55 \cdot 0.707 \approx 7.46$ 3. **Punto crítico 2**: $f(\frac{7}{4}) = e^{7\pi/4} \sin(\frac{7\pi}{4}) = e^{7\pi/4} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx 244.66 \cdot (-0.707) \approx -173.01$ 4. **Extremo derecho**: $f(2) = e^{2\pi} \sin(2\pi) = e^{2\pi} \cdot 0 = 0$ Comparando los valores obtenidos: - El valor máximo es $f(\frac{3}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{3\pi/4}$. - El valor mínimo es $f(\frac{7}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{7\pi/4}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } x = \frac{3}{4} \text{ con valor } \frac{\sqrt{2}}{2} e^{3\pi/4}}$$ $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = \frac{7}{4} \text{ con valor } -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{7\pi/4}}$$ Como se puede observar en la gráfica, la función oscila y la amplitud crece rápidamente debido a la exponencial.